Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

12.7. VERSPIELTE MENGEN 109• alle F σ -Mengen sind determiniert (WOLFE 1955),• alle G δσ -Mengen sind determiniert (DAVIS 1964),• alle BOREL-Mengen sind determiniert (MARTIN 1975),wobei das letzte Ergebnis auch unter dem Gesichtspunkt interessant ist, dass derBeweis notwendig das Ersetzungsaxiom erfordert (FRIEDMAN).MYCIELSKI und STEINHAUS haben 1962 das folgende Axiom vorgeschlagen:Axiom der Determiniertheit (AD)Folgerungen aus AD∀A ⊆ ω ω A ist determiniert.• Alle Mengen reeller Zahlen sind L-meßbar, haben die perfekte-Mengen-Eigenschaft (d. h. sie sind abzählbar oder enthalten eine perfekte Teilmenge)und erfüllen somit (CH), und es gilt das abzählbare Auswahlaxiom AC ω .Ferner ist jeder Ultrafilter in P(ω) ein Hauptfilter.• Andererseits gilt das Auswahlaxiom nicht, die reellen Zahlen können nichtwohlgeordnet werden, die Restklassen von P(ω)/I, wobei I das Ideal derendlichen Mengen {x ⊆ N | x endlich} ist, lassen sich nicht ordnen, undüberhaupt ist die Kardinalzahltheorie recht bizarr: ℵ 1 ist mit der Mächtigkeit2 ℵ 0 der reellen Zahlen nicht vergleichbar, zwischen ℵ 0 und 2 ℵ 0 gibt eskeine Mächtigkeit, zwischen 2 ℵ 0 und 2 (2ℵ 0) jedoch genau 3 Mächtigkeiten.Das Axiom AD kann somit als Alternative zum Auswahlaxiom angesehenwerden, einigen positiven Ergebnissen stehen jedoch ungewöhnliche Eigenschaftengegenüber, insbesondere in der Theorie der Kardinalzahlen und Mächtigkeiten.Problematisch ist vor allem die Widerspruchsfreiheit dieses Axioms; um 1988wurde gezeigt, daß die Widerspruchsfreiheit der Theorie ZF + DC + AD gleichwertigist mit der Widerspruchsfreiheit der Theorie ZF + AC, zu welcher die Existenzgewisser “großer” Kardinalzahlen hinzugenommen wird.