Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN DER POTENZ 123Satz (GCH)ℵ ℵ βα =⎧⎪⎨ℵ α falls ℵ β < c f (ℵ α ),ℵ α+1 falls c f (ℵ α ) ≤ ℵ β ≤ ℵ α ,⎪⎩ℵ β+1 falls ℵ α ≤ ℵ β .Hinsichtlich des Wertes von 2 κ für singuläres κ gibt es noch verschiedeneEinzelresultate:• Ist ℵ λ singulär mit überabzählbarer Konfinalität, so überträgt sich die Kontinuumshypothesevon den Zahlen unterhalb von ℵ λ auf ℵ λ selbst (SILVER1974):∀β < λ 2 ℵ β= ℵ β+1 → 2 ℵ λ= ℵ λ+1 .• Ein Ergebnis von SHELAH 1989 betrifft eine singuläre Kardinalzahl vonabzählbarer Konfinalität:∀n < ω 2 ℵ n< ℵ ω → 2 ℵ ω< ℵ ℵ4 .• Schließlich gilt nach PATEI folgendes interessante Ergebnis:∀α 2 ℵ α= ℵ α+γ für ein festes γ → γ < ω.