Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLATEK 129d. h. wir haben gezeigt∀x ∈ a∃u∀y ∈ b ∃w ∈ u w = (x,y).Somit existiert wiederum nach ∆ 0 -CollS ein c mit∀x ∈ a∃u ∈ c ∀y ∈ b ∃w ∈ u w = (x,y).Setzen wir nun d := ⋃ c, so erhalten wir:∀x ∈ a∀y ∈ b (x,y) ∈ dund somit a × b ⊆ d. Nun brauchen wir nur noch das ∆ 0 -AusS anzuwenden.□Flexibler als der Begriff der Σ 1 -Formel ist der Begriff der Σ-Formel:DefinitionDie Klasse der Σ-Formeln ist die kleinste Klasse aller Formeln, welche die ∆ 0 -Formeln enthält und abgeschlossen ist unter ∨,∧,∀x ∈ a,∃x ∈ a sowie unter ∃.Π-Formeln sind ähnlich definiert, ∆ T := Σ T ∩ Π T .Somit ist jede Σ 1 -Formel auch eine Σ-Formel, aber z. B. ist für eine ∆ 0 -Formelϕ∀x ∈ a ∃y ∀u ∈ y ϕeine Σ-Formel, aber keine Σ 1 -Formel. Da man im ∆ 0 -AusS offenbar “→” durch“↔” ersetzen kann, ist in KP jede Σ-Formel äquivalent zu einer Σ 1 -Formel.BemerkungenMengen, die durch eine ∆- (bzw. Σ-Formel) definierbar sind, entsprechen denrekursiven (bzw. rekursiv-aufzählbaren) Mengen natürlicher Zahlen. Tatsächlichist die Theorie KP der zulässigen Mengen entwickelt worden, um eine geeignete(mengentheoretische) Verallgemeinerung dieser Begriffe von den Zahlen aufgrößere Bereiche zu erhalten.In KP läßt sich das ∆ 0 -AusS verallgemeinern zum ∆-AusS, das ∆ 0 -CollSzum ∆-CollS, und es gilt ein Ersetzungsaxiom sowie ein Rekursionssatz für Σ-Funktionen. Zu diesen Funktionen, die - wie die rekursiven Funktionen der Zahlentheorie- sehr gute Abschlußeigenschaften besitzen, gehören insbesondere alsodie arithmetischen Operationen auf den Ordinalzahlen. Man kann daher KP auchals eine “effektive” Mengenlehre auffassen. Transitive Mengen A, die (mit dergewöhnlichen ∈-Beziehung) ein Modell von KP bilden, heißen zulässige Mengen(admissible sets); die kleinste zulässige Menge ist HF = V ω .