Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

71Kapitel 10Das Auswahlaxiomsteht am Anfang der Entwicklung einer axiomatischen Mengenlehre: ZERMELOstellte sein Axiomensystem in Zusammenhang mit seinem zweiten Beweis desWohlordnungssatzes dar, und bis heute ist es wohl das interessanteste Axiom gebliebenwegen seiner Auswirkungen nicht nur für die Mengenlehre, sondern auchfür fast alle Gebiete der Mathematik. 1 In seiner einfachsten Form besagt es, daßdas Produkt einer Menge nicht-leerer Mengen wiederum nicht leer ist (RUSSELL1906: multiplicative axiom):Auswahlaxiom: (AC,1904/08) ∀x ∈ a x ≠ /0 → ∏ x∈a x ≠ /0,d. h. ∀x ∈ a x ≠ /0 → ∃ f (Fkt( f ) ∧ D( f ) = a ∧ ∀x ∈ a f (x) ∈ x)(ein solches f heißt Auswahlfunktion für die Menge a.)Das AC ist unabhängig von den übrigen ZF-Axiomen:Ist ZF 0 (= ZF ohne Fundierungsaxiom) widerspruchsfrei, so auchZF 0 + ¬AC (FRAENKEL 1922),ZF + AC (GÖDEL 1938),ZF + ¬AC (COHEN 1963).Im Gegensatz zu den anderen mengentheoretischen Axiomen fordert es dieExistenz einer Menge, ohne sie zu definieren oder auch nur einen Hinweis füreine mögliche Beschreibung zu bieten. Ähnlich ist es im Falle des Fundierungsaxioms,dafür hat aber das Auswahlaxiom zahlreiche Anwendungen, besitzt aberauch verschiedene1 Zur Geschichte und Problematik des Auswahlaxioms s. das Buch von G.H. MOORE: Zermelo´saxiom of choice, Springer 1982