Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE MIT KLASSENTERMEN 16(F5) Ist ϕ(a) eine Formel, in welcher die Variable x nicht vorkommt, so ist aucha ∈ {x | ϕ(x)} eine Formel.(F6) Das sind alle Formeln.Von Formeln der ZF-Sprache im engeren Sinne sprechen wir, wenn bei derBildung dieser Formeln die Bedingung (F5) nicht benutzt wurde, ansonsten vonFormeln der erweiterten ZF-Sprache.Außerdem benutzen wir beschränkte Quantoren ∀x ∈ a, ∃x ∈ a als Abkürzungen:∀x ∈ aϕ steht für ∀x(x ∈ a → ϕ),∃x ∈ aϕ steht für ∃x(x ∈ a ∧ ϕ).Für viele Untersuchungen spielen Fragen der Komplexität von Eigenschaften einewichtige Rolle; dabei gelten beschränkte Quantoren als “einfacher” als unbeschränkteQuantoren. Wir werden daher im folgenden - soweit möglich - beschränkteQuantoren verwenden.Elimination von KlassentermenUnser erstes Axiom (für die erweiterte ZF-Sprache) ist das folgendeCHURCHsche Schema (CS):Es erlaubt, Klassenterme wieder zu eliminieren:Metatheorema ∈ {x | ϕ(x)} ↔ ϕ(a).Zu jeder Formel ϕ der erweiterten Sprache existiert eine Formel ψ der engerenSprache (mit denselben freien Variablen), so daß unter Benutzung von CS gilt:ϕ ↔ ψ.(Beweis bei A. LEVY: Basic Set Theory, Appendix X. Beachte, daß der Beweiskonstruktiv ist.)Die erweiterte ZF-Sprache ist somit eigentlich nicht ausdrucksstärker, aberes wird sich zeigen, daß sie für mengentheoretische Überlegungen bequemer zubenutzen ist, vor allem weil man für jede Eigenschaft ϕ(x,...) die Klasse {x |ϕ(x,...)} bilden kann, während man zur Bildung einer entsprechenden Mengeerst nachprüfen muß, ob die Axiome dies zulassen bzw. ob man einen Widersprucherhält, was sehr schwierig (oder sogar unmöglich) sein kann!