Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-MODELLE 149(iii) Das Summenaxiom gilt in M gdw M abgeschlossen ist unter der Vereinigungsmenge:Sum M ↔ ∀x ∈ M ∪ x ∈ M,(iv) Das Potenzmengenaxiom gilt in M gdw M abgeschlossen ist unter der relativenPotenzmenge:(v) Ordinalzahlen sind absolut bzgl. M:Pot M ↔ ∀x ∈ M P(x) ∩ M ∈ M,∀x ∈ M (Ord(x) M ↔ Ord(x)),(vi) Das Unendlichkeitsaxiom gilt in M gdw M die Menge der natürlichen Zahlenenthält:Un M ↔ ω ∈ M.(vii) AusS ϕ sei das Aussonderungsaxiom für die Formel ϕ. Dann gilt:AusS M ϕ ↔ ∀x 0 ∈ M ∀x 1 ...x n ∈ M {x ∈ x 0 | ϕ M (x,x 1 ,...,x n )} ∈ M.(viii) Für eine Formel ϕ sei F := {x,y | ϕ(x,y,x)} und ErsS ϕ das Ersetzungsaxiomfür die durch ϕ definierte Funktion. Ferner sei M abgeschlossen unterPaarmengen (also Paar M ). Dann gilt:ErsS M ϕ ↔ ∀x ∈ M [∀x,y,z ∈ M(ϕ M (x,y,x) ∧ ϕ M (x,z,x) → y = z)→ ∀u ∈ M ∃z ∈ M(∀y ∈ M(y ∈ z ↔ ∃x ∈ u ϕ M (x,y,x))],d. h. für F M := {x,y | x,y ∈ M ∧ ϕ M (x,y,x)} gilt :ErsS M ϕ ↔ ∀x ∈ M [(F M : M → M) → ∀u ∈ M F M [u] ∈ M].□Wie oben benutzen wir allgemein die Relativierung einer Klasse in der Form{x | ϕ(x)} M := {x ∈ M | ϕ M (x)}.Die Transitivität haben wir bereits in den Reflexionsprinzipien verstärkt:strans(M) :↔ ∀x ∈ M ∀y(y ∈ x ∨ y ⊆ x → y ∈ M)M ist stark transitivBeispiel: strans(V α )