Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

4Kapitel 1Ordnungen und WohlordnungenIn seinen Untersuchungen über die Konvergenz von Fourierreihen führte CANTORden Begriff der Ableitung A ′ einer Menge A von reellen Zahlen ein: A ′ besteht ausden Elementen von A, welche Häufungspunkte von Elementen von A sind. Mankann nun nach der Menge der Häufungspunkte dieser neuen Menge fragen unddamit eine Menge A ′′ bilden, die Menge der Häufungspunkte der Häufungspunktevon A. Iteriert man diese Operation, so erhält man eine eine unendlich-absteigendeFolgeA ⊇ A ′ ⊇ A ′′ ⊇ A ′′′ ...deren “Limes” A ∞ , d. h. in diesem Fall der Durchschnitt, möglicherweise wiederisolierte Punkte enthält, so daß man wieder die Menge ihrer Häufungspunkte bildenkann. Auf diese Weise fortgesetzt, führt der Zählprozeß über die natürlichenZahlen hinaus ins Transfinite, und zwar mit ω statt ∞ als neuer “Zahl”:0,1,2,3,...ω,ω + 1,ω + 2,ω + 3,...ω + ω,ω + ω + 1,ω + ω + 2,...ω + ω + ω,...ω · ω,...Einen derartigen Zählprozeß erhalten wir auch, wenn wir die natürlichen Zahlenumordnen und neu aufzählen, etwa erst die Potenzen von 2, dann die Potenzenvon 3, dann die Potenzen von 5 . . . :1,2,4,8,...3,9,27,...5,25,125,...und dann bleibt immer noch ein unendlicher Rest von Zahlen wie 0, 6, 10, . . .Offenbar gibt es verschiedene Möglichkeiten, ins Unendliche aufzuzählen, wieunterscheiden sich diese Möglichkeiten? Führen unterschiedliche Aufzählungenvielleicht zu Widersprüchen? Lassen sich überhaupt alle Mengen in irgendeiner