Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 80und ähnlich für die übrigen Operationen. Damit wird L(T) zu einer BOOLEschenAlgebra mit0 = {σ | T ⊢ ¬σ} und 1 = {σ | T ⊢ σ}.Ein Filter einer BOOLEsche Algebra (B,∧,∨,−,0,1) ist eine nichtleere TeilmengeF ⊆ B mit folgenden Eigenschaften:(F1) x,y ∈ F ⇒ x ∧ y ∈ F,(F2) x ∈ F, y ∈ B ⇒ x ∨ y ∈ F.Ein Filter F heißt echt gdw F ≠ B. Ein Primfilter (Ultrafilter) ist ein echter FilterF mit der zusätzlichen Eigenschaft(U) x ∈ F oder − x ∈ F.Ultrafilter kann man auch als maximale echte Filter charakterisieren; sie habenaußerdem folgende Eigenschaften:x ∉ U ⇔ −x ∈ Ux ∈ U und y ∈ U ⇔ x ∧ y ∈ Ux ∈ U oder y ∈ U ⇔ x ∨ y ∈ Uund stehen damit in enger Verbindung zum Wahrheitsprädikat, was in dem folgendenSatz zum Ausdruck kommt.Das BOOLEsche Primidealtheorem (BPI) besagt:Jeder echte Filter in einer BOOLEschen Algebra läßt sich zu einem Ultrafilter erweitern(bzw.: Jedes echte Ideal in einer BOOLEschen Algebra läßt sich zu einemPrimideal erweitern.)(Die Begriffe Ideal und Primideal sind die zu Filter und Ultrafilter dualenBegriffe (vertausche ∨ mit ∧).)Das BPI folgt offensichtlich aus dem Auswahlaxiom (mittels des ZORNschenLemmas), ist aber echt schwächer.SatzDas BPI ist äquivalent zu folgenden Aussagen:(i) Jede BOOLEsche Algebra besitzt einen Ultrafilter.