Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.3. GÖDELISIERUNG 14716.3.3 DefinierbarkeitNunmehr können wir auch den informalen Definierbarkeitsbegriff formal ausdrücken:Def(a) := {x ⊆ a | ∃e(Fml 1 a(e) ∧ x = {z ∈ a | (a,∈) |= e(z)})},wobei e(z) so definiert ist, daß (inhaltlich) für eine Formel ϕ(v 0 ) mit Code e gilt:e(z) ist der Code der Formel ϕ(z o ), wobei ϕ(z o ) aus ϕ entsteht, indem die Konstantez o für die Variable v o eingesetzt wird:ϕ(v 0 )(z) = ϕ(z o )Satz über die ∆-Definierbarkeit von DefIn der Theorie KP ∞ ist für jedes a auch De f (a) eine Menge. Außerdem gilt:Die Abbildung bzw. Relationa ↦→ Def(a)b = Def(a)ist Σ − de f inierbar,ist ∆ − de f inierbar.Beweis: Wegen Def(a)⊆ P(a) kann man in ZF das Potenzmengenaxiom benutzen,um auch De f (a) als Menge zu erhalten. Da wir jedoch später auch die Komplexitätdieser Operation kennen müssen, arbeiten wir mit den Hilfsmitteln von KP ∞ .Darin kann man zuerst nachweisen, daßFml 1 a := {e | Fml 1 a(e)}eine Menge ist (hier benötigen wir das Unendlichkeitsaxiom!), und dann hieraufeine Σ-Funktion f definieren kann mitf : Fml 1 a ↠ Def(a) mit f (e) = {z ∈ a | (a,∈) |= e(z)}.Der Graph einer Σ-Funktion, definiert auf einem Definitionsbereich, welcher eine∆-definierbare Menge ist, ist aber stets eine ∆-Relation (wegen f (x) ≠ y ↔∃z( f (x) = z ∧ y ≠ z) für x ∈ D( f )).□16.3.4 Bemerkungen und Beispiele1. Für jede mengentheoretische Formel ϕ(v 0 ,...,v n ) und beliebige Elementea 1 ,...,a n ∈ a ist{z ∈ a | ϕ a (z,a 1 ,...,a n } ∈ Def(a),