Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLATEK 128(ii) (Aufwärts-Absolutheit von Σ 1 -Formeln): Ist ϕ(a) eine Σ 1 -Formel, so gilt:trans(a) ∧ a ∈ a → [ϕ a (a) → ϕ(a)],(iii) (Abwärts-Absolutheit von Π 1 -Formeln): Ist ϕ(a) eine Π 1 -Formel, so gilt:trans(a) ∧ a ∈ a → [ϕ(a) → ϕ a (a)],(iv) (Absolutheit von ∆ 1 -Formeln): Ist ϕ(a) eine ∆ 1 -Formel, so gilt:trans(a) ∧ a ∈ a → [ϕ(a) ↔ ϕ a (a)].14.3 Die Theorie KP von Kripke-PlatekDiese Theorie wurde von S.A. KRIPKE und R.A. PLATEK entwickelt als mengentheoretischeGrundlage für eine verallgemeinerte Rekursionstheorie und besitztfolgende Axiome:Extensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = bPaarmengenaxiom (Paar) ∃y∀x(x ∈ y ↔ x = a ∨ x = b)Summenaxiom (Sum) ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃x ∈ a z ∈ x)∆ 0 -Aussonderung (∆ 0 -AusS) ∃y∀z(z ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x))∆ 0 -Collection (∆ 0 -CollS) ∀x∃yϕ(x,y) → ∃z∀x ∈ a∃y ∈ zϕ(x,y)Fundierungsschema (FundS) ∃xϕ(x) → ∃x(ϕ(x) ∧ ∀y ∈ x¬ϕ(y))Dabei soll in den ∆ 0 -Schemata die Formel ϕ jeweils eine beliebige ∆ 0 -Formelsein (im Fundierungsschema dagegen eine beliebige Formel).LemmaFolgende Mengen existieren in KP und sind (wegen Ext) eindeutig bestimmt:/0, a ∩ b, a ∪ b, ⋃ a, {a,b}, (a,b), a × b.Beweis: Interessant (und nicht-trivial) ist nur die Existenz von a × b:Es sei x ∈ a. Dann gilt ∀y ∈ b ∃w w = (x,y), also existiert nach ∆ 0 -CollS einu mit∀y ∈ b∃w ∈ u w = (x,y),