Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

18.4. MAHLOSCHE ZAHLEN 170MAHLOsche FixpunktprinzipJede unbeschränkte Klasse besitzt einen regulären Limespunkt (und damit beliebiggroße):A unbeschränkt → F(A) ≠ /0→F(A) unbeschränkt.Angewandt auf die unbeschränkte Klasse der regulären Zahlen liefert es dieExistenz der schwach-unerreichbaren Zahlen (als 1-schwach-unerreichbaren Zahlen)sowie allgemeiner unbeschränkt vieler schwach-unerreichbaren Zahlen vomendlichen Grad n:wIn(0) : = {κ | reg(κ)} = RegwIn(1) : = {κ | reg(κ) ∧ Reg ∩ κ unbeschränkt inκ}wIn(2) : = {κ | reg(κ) ∧ sIn(1) ∩ κ unbeschränkt inκ}wIn(3) : = {κ | reg(κ) ∧ sIn(2) ∩ κ unbeschränkt inκ}...Um auch die ω-schwach-unerreichbaren Zahlen zu erhalten (oder allgemein überdie Limes-Iteration herauszugelangen), muß man es verstärken. Stattdessen gehenwir gleich zu dem stärkeren (und besser anwendbaren)MAHLOschen Prinzipüber, welches über das Fixpunktprinzip hinausführt und das man als ein Beispielfür die Reflexion der Eigenschaft 2. Stufe stationär auffassen kann: Setzt manso besagt das MAHLOsche Prinzip:ST (A) := {κ | reg(κ) ∧ A ∩ κ stationär in κ},A stationär → ST (A) stationär.Beginnt man mit der Klasse On aller Ordinalzahlen, die offensichtlich stationärist, so ergibt eine erste Anwendung des MAHLOschen Prinzips, daß ST (On) stationärist. Diese Klasse besteht aus den regulären Kardinalzahlen κ (= MAHLOscheZahlen vom Grad 0), so daß die kleineren regulären Zahlen eine stationäre Teilmengevon κ bilden (= MAHLOsche Zahlen vom Grad 1). Durch wiederholte An-