Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 155SatzEs gibt eine ∆ KP -Relation < L und eine Σ KP -Funktion F, die beide bezüglich Labsolut sind, derart daß in KP gilt:V = L → < L ist Wohlordnung von L, F : On ↔ L.Insbesondere gilt AC L und somit:BemerkungenOffensichtlich istIst ZF widerspruchsfrei, so auch ZF + AC.L ⊆ HOD ⊆ V.Falls V = L, so natürlich auch V = HOD, aber möglich ist auch: L ⊂ HOD =V, L ⊂ HOD ⊂ V, L = HOD ⊂ V .□17.4 Das KondensationslemmaBevor wir zeigen, daß aus V = L auch die allgemeine Kontinuumshypothese GCHfolgt, benötigen wir noch einige Hilfsmittel. Zunächst greifen wir auf unserefrüheren Ergebnisse über Wohlordnungen (6.1) zurück. Wie dort bemerkt, lassensie sich weitgehend auf fundierte Relationen übertragen:Eine Relation R auf einer Klasse A heißt fundiert gdw(F1) ∀z(/0 ≠ z ⊆ A → ∃x ∈ z ∀y ∈ z ¬yRx) Minimalitätsbedingung(F2) ∀y ∈ A Mg({x|xRy}) MengenbedingungOffenbar muß eine fundierte Relation irreflexiv sein, dagegen ist eine Wohlordnungzusätzlich transitiv und connex. Die Transitivität kann man durch Erweiterungerreichen (ähnlich wie man die ∈-Beziehung x ∈ y zu einer transitivenRelation x ∈ TC(y) erweitern kann):aR ∗ b :↔ ∃n < ω ∃ f ( f : n + 1 → V ∧ f (0) = a ∧ ∀i < n f (i)R f (i + 1) ∧ f (n) = b).R ∗ heißt die Vorfahrenrelation zu R; es gilt nämlich aR ∗ b gdw es eine endlicheR-Kette von a nach b gibt.