Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHLORDNUNGEN 44F ist injektiv:Sei F(y) = F(z), aber y ≠ z. Da R eine Ordnung ist, so giltyRz und damit F(y) ∈ F(z) oderzRy und damit F(z) ∈ F(y),in beiden Fällen ein Widerspruch zu F(y) = F(z) (und dem Fundierungsaxiom)!F ist ein Isomorphismus:Nach Def. von F gilt: aRb → F(a) ∈ F(b). Sei umgekehrt F(a) ∈ F(b). Dann istF(a) = F(c) für ein cRb, aber a = c (wegen der Injektivität), und somit auch aRb.B ist transitiv:Sei c ∈ B = W(F). Dann ist c = F(b) für ein b ∈ A, andererseits nach Def. von F(d.h. nach (*)): c = F(b) = {F(x) | xRb} ⊆ B, also c ⊆ B.□Da transitive Mengen, die durch die ∈-Beziehung wohlgeordnet sind, geradedie Ordinalzahlen sind, erhalten wir mitOn := {x | Ord(x)}als Klasse aller Ordinalzahlen:6.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen< sei eine Wohlordnung auf A.(i) Ist A = a eine Menge, so gibt es genau eine Abbildung f und genau eineOrdinalzahl α mitf : (a,