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die Hauptkrümmungsradien unterschiedliche Vorzeichen, und es existiert in der Flüssigkeitsbrücke solange ein Unterdruck - und somit ein positiver Beitrag Fp des Kapillardrucks zur Haftkraft FH -, solange 1 / R1 > 1/ R 2 ist. Dafür gilt: 2 2 π ⋅ d 2 ⎛ 1 1 ⎞ π ⋅ d 2 F = ⋅ ⋅ α = σ ⋅ ⎜ − ⎟ p pK sin lg ⋅ ⋅ sin α . ( 6.73) 4 ⎝ R1 R 2 ⎠ 4 Somit ergibt sich die gesamte Haftkraft FH = FR + Fp zu: ⎡ d ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ 2 F ⎢ ( ) ⎜ ⎟ H = π ⋅ d ⋅ σlg ⋅ sin α ⋅ sin α + θ + ⋅ − ⋅ sin α⎥ ( 6.74) ⎣ 4 ⎝ R1 R 2 ⎠ ⎦ bzw. für vollständige Benetzung θ ≈ 0 ⎡ ⎤ 2 d ⎛ 1 1 ⎞ F = π ⋅ ⋅ σ ⋅ α ⋅ ⎢ + ⋅ ⎜ − ⎟ H d lg sin 1 ⎥ . ( 6.75) ⎣ 4 ⎝ R1 R 2 ⎠⎦ Da R1 und R2 von α, θ und a/d abhängen, so lässt sich schreiben: ⎛ a ⎞ H = σ ⋅d⋅f ⎜α, θ, ⎟ . ( 6.76) ⎝ d ⎠ F lg Diese Haftkraft sinkt mit steigendem Kontaktabstand (Folie 6.9a). Die maximale Haftkraft ergibt sich allerdings beim Oberflächenabstand a = 0: F = π ⋅ d ⋅ σ . ( 6.77) H, max MVT_e_6neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnologie Schüttgutspeicherung Prof. Dr. J. Tomas, 10.10.2012 lg Für die Bindung in fließenden feuchten Schüttgütern wurde Gleichung ( 6.75) dahingehend vereinfacht, dass meist vollständige Benetzung vorliegt. Außerdem liegen dem Modell noch sich berührende gleich große Kugeln a = 0 zugrunde. Damit ergibt sich für das Flüssigkeitsvolumen in einer Brücke, wenn man hier auf die Berücksichtigung der Krümmung der beiden Menisken vereinfachend verzichtet /Diss.B/ (Folie 6.14): π 3 4 V l ≈ ⋅ 0, 264 ⋅ d ⋅sin α . ( 6.78) 4 Damit lässt sich ein einfacher analytischer Zusammenhang zwischen dem Flüssigkeitsgehalt Xl in einem Schüttgut der Porosität ε und dem Benetzungswinkel α gewinnen (mittlere Koordinationszahl k = π / ε ): X m k V ⋅ρ l l l l = = ⋅ m π , s 3 2 ⋅ ⋅ d ⋅ρ s sin 6 ε ⋅ ρ ( 6.79) 2 s α = 1, 313⋅ Xl . ( 6.80) ρl Für die mittlere Haftkraft FH in einer Partikelpackung mit idealer Zufallsanordnung gilt dann vereinfachend: 389
390 F F K s H ≈ 1, 313⋅ π ⋅ d ⋅ σlg ⋅ ⎢1 + ⎥⋅ Xl ( 6.81) 4 ⋅ σlg ρl MVT_e_6neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnologie Schüttgutspeicherung Prof. Dr. J. Tomas, 10.10.2012 ⎡ ⎢⎣ ⎡ p 1 ⋅ d ⎤ 1 ⎥⎦ ε ⋅ ρ 1 ⎞⎤ ε ⋅ρ s H≈ 1, 313⋅ π ⋅ d ⋅ σlg ⋅ ⎢1 + ⋅ ⎥⋅ Xl 4 ⎜ − R1 R ⎟ ( 6.82) 2 ρl ⎣ ⎛ ⎝ bzw. mit den Gln.( 6.71) und ( 6.72) für den Oberflächenabstand a = 0: F ⎡ 1 cos α ⎠⎦ cos α ε ⋅ ρ s H ≈ 1, 313⋅ π ⋅ d ⋅⋅σ lg ⋅⎢1 + ⋅ ⎥⋅ Xl 2 ⎜ + 1 cos 1 cos sin ⎟ . (6.83) − α − α − α ρl ⎣ ⎛ ⎝ Allerdings ist der Term in den runden Klammern wegen der unterschiedlichen Vorzeichen der Hauptkrümmungsradien bei praktischen Abschätzungen problematisch, ⇒ liefert bei größeren Flüssigkeitsgehalten zu kleine Haftkräfte. Die Haftkräfte, die rotationssymmetrische Flüssigkeitsbrücken übertragen, sind für gleich sowie ungleich große Partnerkugeln und für andere Partnergeometrien sowohl unter der vereinfachenden Annahme kreisbogenförmiger Meridiankurven als auch für das exakte Profil berechnet worden /3.102/ bis /3.104/. Die Verformung der Flüssigkeitsbrücken unter Schwerkrafteinfluss und deren Auswirkung auf die Haftkraft ist für Partikeln d < 1 mm vernachlässigbar. Schließlich lassen sich auch Brücken zwischen unregelmäßigen Partikeln in guter Näherung als rotationssymmetrisch auffassen. Um die Intensität der Haftkräfte, die durch Flüssigkeitsbrücken hervorgebracht werden, im Vergleich zu anderen Wechselwirkungen zu kennzeichnen, sind diese in Folie 6.9a und b mit dargestellt. Danach ist festzustellen, dass diese nicht nur die intensivsten sind, sondern dass sie sich auch Rauhigkeiten gegenüber als wenig empfindlich erweisen /3.92/. 6.1.2.1.2 Zerreißarbeit einer Flüssigkeitsbrücke Für den maximal möglichen Oberflächenbstand, bei dem das Zerreißen der Flüssigkeitsbrücke eintritt, hat sich folgender einfacher Zusammenhang ergeben (für Randwinkel θ ≤ 40°): V a ≈ . ( 6.84) 1/ 3 max l Mit dem mittleren Flüssigkeitsgehalt einer Brücke in einer Partikelpackung nach der Gl.( 6.79) ist auch (z. B. amax ≈ d für ρs = 2650 kg/m³, ε = 0.5, Xl = 25%): max 3 ⎟ ⎛ ε ⋅ ρ ⎞ s a = d ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ X l ⎝ ρl ⎠ 1/ 3 ⎞⎤ ⎠⎦ . ( 6.85)
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