Pulverfließeigenschaften - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
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6.4.3 Lösung der zweiten KOLMOGOROFF-Differentialgleichung<br />
Einerseits lässt sich dieses vereinfachte eindimensionale<br />
Partikeldispersionsmodell aus dem allgemeinen Modell mechanischer Prozesse<br />
Gl.(2.82) im Abschnitt 2.4 MVT_e_2.doc gewinnen. Andererseits kann man es<br />
auch aus einer integralen Modellgleichung für den Transport oder die „Verschiebung“<br />
molekularer Fluidteilchen ableiten - FOKKER-PLANCK-<br />
Gleichung der statistischen Physik – (siehe Abschnitt 4.3.1<br />
MVT_e_4neu.doc#Fokker_planck, Gl. (4.153)):<br />
2<br />
3<br />
∂q(<br />
x,<br />
t)<br />
u ( x)<br />
∂q(<br />
x,<br />
t)<br />
u 2(<br />
x)<br />
∂ q(<br />
x,<br />
t)<br />
1 ∂<br />
= − ⋅ + ⋅ − ⋅<br />
2<br />
∂t<br />
1!<br />
∂x<br />
2!<br />
∂x<br />
3!<br />
MVT_e_6neu <strong>Mechanische</strong> <strong>Verfahrenstechnik</strong> - Partikeltechnologie Schüttgutspeicherung Prof. Dr. J. Tomas,<br />
10.10.2012<br />
[ q(<br />
x,<br />
t)<br />
⋅ u ( x)<br />
]<br />
1 3 +<br />
3<br />
∂x<br />
...<br />
( 6.211)<br />
Dabei wird vorausgesetzt, dass sich der dem Fluidteilchentransport zugrunde<br />
liegende physikalische Grundvorgang bei jedem Schritt δx nicht ändert und nur<br />
vom Zustand des Stoffsystems zum Zeitpunkt t abhängt. Ein derartiger stochastischer<br />
Prozess wird in der statistischen Physik stetiger MARKOFF-Prozess<br />
genannt. Höhere Ordnungen werden gewöhnlich u n><br />
2(<br />
x)<br />
≈0<br />
gesetzt und man<br />
erhält die sog. zweite KOLMOGOROFF-Differentialgleichung für die<br />
Wahrscheinlichkeit q( x,<br />
t)<br />
⋅ dx dafür<br />
∂q(<br />
x,<br />
t)<br />
∂<br />
= −<br />
∂t<br />
2<br />
[ u ( x)<br />
⋅ q(<br />
x,<br />
t)<br />
] 1 ∂ [ D(<br />
x)<br />
⋅ q(<br />
x,<br />
t)<br />
]<br />
1<br />
∂x<br />
+ ⋅<br />
2<br />
∂x<br />
2<br />
, ( 6.212)<br />
dass sich das betrachtete Fluidteilchen zum Zeitpunkt t im Intervall x bis x + dx<br />
befindet ( D( x)<br />
≡ 2 ⋅ D * ). Mit der Partikelkonzentration c(x, t) und der<br />
Partikelgeschwindigkeitsverteilung v(x, t) lautet Gl.( 6.212) nunmehr in<br />
normierter Schreibweise:<br />
∂C(<br />
X,<br />
θ)<br />
∂C(<br />
X,<br />
θ)<br />
= − +<br />
∂θ ∂X<br />
0<br />
1<br />
Bo<br />
ax<br />
2<br />
∂ C(<br />
X,<br />
θ)<br />
⋅ . ( 6.213)<br />
2<br />
∂X<br />
C ( X,<br />
θ ) = c(<br />
x,<br />
t)<br />
/ c normierte Partikelkonzentration ( 6.214)<br />
X = x / L<br />
normierte Apparateaxialkoordinate ( 6.215)<br />
θ = τ / τm<br />
normierte Verweilzeit ( 6.216)<br />
Boax = v ⋅ L / Dax<br />
axiale BODENSTEIN-Zahl ( 6.217)<br />
v = L / τ<br />
mittlere Partikeltransportgeschwindigkeit ( 6.218)<br />
m<br />
Dax axialer Partikeldispersionskoeffizient<br />
Diese Differentialgleichung lässt sich mit den Randbedingungen<br />
1) an der Partikelaufgabe bei x < 0 findet keine „Rückdiffusion“ aus dem<br />
Bilanzraum 0 ≤ x ≤ L heraus statt, d.h. für x = 0 und t > 0 ist:<br />
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