Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung
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nachlässigen ist ? Der Zusammenhang zwischen der zurückgelegten N-S Strecke dy <strong>und</strong> der Breitendifferenz<br />
dϕ ist e<strong>in</strong>facher als der <strong>in</strong> E-W Richtung <strong>und</strong> kann direkt <strong>in</strong>tegriert werden (N-S Gleichungen <strong>in</strong> 2.2<br />
<strong>und</strong> 2.1)<br />
y1 − y0 = R♁(ϕ1 − ϕ0) = s cos(KüG) oder<br />
ϕ1 = ϕ0 + s<br />
cos(KüG)<br />
R♁ (Bogenmaß)<br />
ϕ1 = ϕ0 + 1 ◦ s<br />
( ) cos(KüG)<br />
60 sm<br />
(2.3)<br />
Die Berechnung der Länge λ1 am Zielort ist aufwendiger. Wenn wir von den E-W Gleichungen von<br />
(2.2) <strong>und</strong> (2.1) ausgehen, erhalten wir nach Elim<strong>in</strong>ation von dx <strong>und</strong> dy<br />
dx<br />
dy<br />
= tan(KüG) = cos(ϕ) dλ<br />
dϕ<br />
λ1 = λ0 + tan(KüG)<br />
oder dλ = tan(KüG) dϕ<br />
cos ϕ oder<br />
�ϕ1<br />
ϕ0<br />
dϕ ′<br />
cos ϕ ′<br />
Dieses Integral kann man angenähert oder genau bestimmen, wobei wir <strong>in</strong> jedem Fall vorher aus (2.3)<br />
<strong>die</strong> Breite ϕ1 des Endpunktes bestimmt haben müssen, denn <strong>die</strong>se wird als obere Integrationsgrenze <strong>in</strong><br />
(2.4) benötigt.<br />
2.1.1 Mittelbreitenverfahren, <strong>die</strong> angenäherte Variante<br />
In <strong>die</strong>sem Verfahren wird das Integral <strong>in</strong> (2.4) e<strong>in</strong>fach durch e<strong>in</strong>e Schätzung des Mittelwertes des Integranden<br />
ersetzt, also<br />
Damit ergibt sich für (2.4)<br />
�ϕ1<br />
ϕ0<br />
λ1 = λ0 + tan(KüG)<br />
λ1 = λ0 + tan(KüG)<br />
dϕ ′<br />
cos ϕ ′ � ϕ1 − ϕ0<br />
cos ¯ϕ<br />
(2.4)<br />
wobei ¯ϕ = 1<br />
2 (ϕ1 + ϕ0) (2.5)<br />
ϕ1 − ϕ0<br />
cos 1<br />
2 (ϕ1 + ϕ0) = λ0<br />
s/R♁ +<br />
cos 1<br />
2 (ϕ1<br />
s<strong>in</strong>(KüG) (Bogenmaß)<br />
+ ϕ0)<br />
cos 1<br />
ϕ1 − ϕ0<br />
2 (ϕ1 + ϕ0) = λ0 + 1 ◦ (<br />
s<br />
60 sm )<br />
s<strong>in</strong>(KüG)<br />
cos 1<br />
2 (ϕ1 + ϕ0)<br />
Im letzten Schritt haben wir (2.3) e<strong>in</strong>gesetzt <strong>und</strong> damit e<strong>in</strong>e Form für <strong>die</strong> Längendifferenz ähnlicht wie<br />
(2.3) für <strong>die</strong> Breitendifferenz erhalten. Trotzdem müssen wir immer (2.3) zuerst ausrechnen, da wir sonst<br />
nicht <strong>die</strong> Mittelbreite cos(ϕ1 + ϕ0)/2 bestimmen können.<br />
2.1.2 Die genaue Variante<br />
Zur genauen Berechnung des Integrals <strong>in</strong> (2.4) verschieben wir den Integrand <strong>und</strong> Integrations<strong>in</strong>tervall<br />
geme<strong>in</strong>sam um π/2<br />
�ϕ1<br />
ϕ0<br />
dϕ ′<br />
=<br />
cos ϕ ′<br />
ϕ1+ π<br />
� 2<br />
ϕ0+ π<br />
2<br />
3<br />
dϕ ′′<br />
s<strong>in</strong> ϕ ′′<br />
(2.6)
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