Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung

entsprechend π − 2α2 für Dreieck ACX. Damit ist Winkel δ
δ = 2π − (π − 2α1) − (π − 2α2) = 2α1 + 2α2 = 2α
Teilen wir nun Dreieck BCX durch die gestrichelten Gerade in zwei
spiegelbildliche, rechtwinklige Dreiecke so muss nach Definition
des Sinus gelten
a/2
r
δ
= sin( ) = sin(α) oder
2
sin α
a
= 1
2r
Dieses Verhaltniss gibt also immer den gleichen Betrag, auch wenn
wir A durch B oder C ersetzen. �
B Bogen- oder Gradmaß
2
C
r
- 2 2
1 A B
a
X
r r
Es ist in vielen Formel bei Ableitungen vorausgesetzt, dass Winkel in Bogenmaß eingesetzt werden.
Das hat den Vorteil, dass die Länge eines Bogensegmentes mit Winkel φ und Radius R einfach Rφ
beträgt. Zudem entfallen lästige Koeffizienten bei der Differention. Für parktische Rechnungen ist jedoch
manchmal auch das Gradmaß von Vorteil.
Ist der Radius R derjenige der Erde R ♁, ist z.B. die Bogenminute eine praktische Einheit für die
Winkelangabe von φ. Ein Bogensegment auf einem Großkreis mit dem Radius R ♁ und einem Zentralwinkel
im Erdzentrum von einer Bogenminute hat auf der Erdoberfläche etwa die Länge einer Seemeile. Durch
die Abplattung der Erde hat der Abstand zwischen Erdoberfläche und Erdzentrum nicht überall den
Wert 6378 km des mittleren Erdradius. Bei den für uns wichtigeren niederen und mittleren Breiten ist
der Abstand vom Erdmittelpunkt größer, aber die Krümmung der Erdoberfläche ist stärker und somit
ist ein etwas kleinerer Radius relavant. Mit R ♁ = 6367km ist
π φ
R♁φ = R♁ 180
1 ◦ = R ♁
π φ φ φ
= 60 sm = 1 sm
10800 1 ′ 1◦ 1 ′
Unsere Konvention: wird ein Winkel mit einer Strecke multipliziert, ist immer das Bogenmaß vorrausgesetzt
oder der Winkel wird explizit durch eine Gradeinheit dividiert.
Ist der Winkel Argument einer trigonometrischen Funktion, wird nicht explizit angegeben, ob der
Winkel in Grad oder Bogenmaß gefordert ist. Es wird implizit immer vorausgesetzt, dass der “richtige”
Kosinus oder Sinus mit dem “richtigen” Argument zusammensteht. Streng genommen, sind es aber zwei
verschiedene Funktionen, z.B.
sinRAD(φ) (φ in Bogenmaß) , sinDEG(φ) = sinRAD( π
φ) (φ in Gradmaß)
180◦ Wir werden der allgemeinen Konvention folgend beide Funktionen einfach mit sin bezeichnen Dem Taschenrechner
müßen wir das aber explizit sagen, welche dieser Funktionen wir meinen, indem wir auf den
DEG oder RAD Modus umschalten.
Für die trigonometrischen Umkehrfunktionen gilt analoges:
asinRAD(x) (ergibt Winkel in Bogenmaß) ,
asinDEG(x) = 180◦
π asinRAD(x) (ergibt Winkel in Gradmaß)
Das Bogenmaß hat den Vorteil, dass bei kleinen Winkeln der Sinus, Tangens und ihre Umkehrfunktionen
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