Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung

Dabei ist die Länge von e1 × e2 gerade s = √ 1 − c 2 , der Sinus des Winkels, den die beiden Sterne
miteinander bilden. Auf das Vorzeichen brauchen wir keine Acht geben, es sind nur gerade Potenzen von
s gefragt. Weiter ist
Damit ergibt sich
α 2 = 1
s4 � 2
sin (H1) + c 2 sin 2 (H2) − 2c sin(H1) sin(H2) �
β 2 = 1
s4 � 2
sin (H2) + c 2 sin 2 (H1) − 2c sin(H2) sin(H1) �
αβ = 1
s4 �
sin(H1) sin(H2)(1 + c 2 ) − c(sin 2 (H1) + sin 2 (H2) � damit
� 2 2
(1 − 2c + c )(sin (H1) + sin 2 (H2) + 2 sin(H1) sin(H2) �
α 2 + β 2 + 2cαβ = 1
s 4
t 2 = 1 − α2 + β 2 + 2c αβ
s 2
= 1
s 4 (1 − c)2 (sin(H1) + sin(H2)) 2
= 1 − (1 − c)2 (sin(H1) + sin(H2)) 2
s 6
= 1 − (sin(H1) + sin(H2)) 2
s 2 (1 + c) 2
(8.19)
(8.20)
Die beiden Postionen auf der Erdoberfläche lassen sich also in der Form (8.18) mit den Koeffizienten
schreiben
α = sin(H1) − c sin(H2)
1 − c 2
β = sin(H2) − c sin(H1)
1 − c2 �
t = ± 1 − (sin(H1) + sin(H2)) 2
(1 − c2 )(1 + c) 2
(8.21)
Mit diesem Ergebnis können wir natürlich noch nicht viel anfangen. Die Positionen lassen sich aber in
einem Koordinatensystem ausdrücken, wenn e1 und e2 darin ausgedrückt werden
In geographischen Koordinaten ausgedrückt sind die Sternpositionen gerade die Rektazension und der
Greenwich Stundenwinkel und c = cos(d) mit d wie in (8.11). Die weiteren Koeffizienten folgen aus (8.21)
und die Position als Vektor geschrieben folgt aus
r = αe1 + βe2 + t(e1×e2)
⎛
e1 = ⎝
(8.22)
cos(GHA1)
⎞ ⎛
cos(δ1)
sin(GHA1) cos(δ1) ⎠ , e2 = ⎝
sin(δ1)
cos(GHA2)
⎞
cos(δ2)
sin(GHA2) cos(δ2) ⎠
sin(δ2)
⎛
⎞
cos(δ1) sin(δ2) sin(GHA1) − cos(δ2) sin(δ1) sin(GHA2)
e1×e2 = ⎝ − cos(δ1) sin(δ2) cos(GHA2) + cos(δ1) sin(δ2) cos(GHA1) ⎠
cos(δ1) cos(δ2) sin(α2 − α1)
(8.23)
�
Die geographische Breite ergibt sich dann aus den Komponenten rx, ry, rz von r zu λ = atan(rz/ r2 x + r2 y)
und ϕ = asin(ry/rx).
8.5 Auf- und Untergänge
Die Zeitpunkte des Gestirnsauf- und untergangs sind zwei Spezialfälle des allgemeinen Nautischen Dreiecks
(Abb. 9) mit dem Wert für die Gestirnshöhe h = 0. Auch wenn der Kosinussatz sich in diesem Fall
sehr vereinfacht, hat es seine Schwierigkeiten, diesen Moment in de Praxis genau abzupassen. Da wir so
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