Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung

c
a
b
Seitenkosinussatz: cos(a) = sin(b) sin(c) cos(α) + cos(b) cos(c) (D.2)
Winkelkosinussatz: cos(α) = sin(β) sin(γ) cos(a) − cos(β) cos(γ) (D.3)
Sinussatz:
sin(α)
sin(a)
= sin(β)
sin(b)
= sin(γ)
sin(c)
(D.4)
Für kleine Seitenwinkel a, b, c nimmt auch das spärische Dreieck nue einen kleinen Teil der Kugeloberfläche
ein. Sind die Seitenlängen sehr viel kleiner als der Kugelradius, sollte die Krümmung der Oberfläche
nicht mehr von Bedeutung sein und das Dreieck sich wir ein ehenes Dreieck verhalten. Formal ergibt sich
diese Grenze, indem wir sin und cos für kleine Argumente a, b, c durch
cos(a) � 1 − a2
, sin(a) � a
2
annähern. Unsere sphärischen Winkelsätze ergeben dann
Seitenkosinussatz: 1 − a2
b2 c2
= bc cos(α) + 1 − −
2 2 2
→ (A.11)
Winkelkosinussatz: cos(α) = sin(β) sin(γ) − cos(β) cos(γ) = − cos(β + γ) → α = π − β − γ
sphärische Sinussatz:
sin(α)
a
Beweis Seitenkosinussatz:
= sin(β)
b
= sin(γ)
c
Wir wählen die Richtung von A als die Erdachse und den
Meridian λ=0 wählen wir so, dass er durch B geht. Dann sind
B und C durch die Positionsvektoren
B = (cos( π
− c), 0, sin(π − c))
2 2
= (sin(c), 0, cos(c))
C = (cos(α) cos( π
− b), sin(α) cos(π − b), sin(π − b))
2 2 2
= (cos(α) sin(b), sin(α) sin(b), cos(b))
darstellbar. Den Kosinus des Winkels a zwischen B und C
erhalten wir dann durch komponentenweise Multiplikation von
B und C. �
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2 -c
B
c
→ (A.12)
a
A
b
C
2 -b