Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung

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ohne weitere Koeffizienten durch ihre Argumente ersetzt werden können, z.B. sinRAD(φ) � φ , asinRAD(x) � x aber sinDEG(φ) � π 180 ◦ φ , asinDEG(x) � 180◦ π x Die lästigen Vorfaktoren entfallen somit bei der Bogenmaßversion. Auch beim Ableiten müssen wir “Farbe” bekennen und wissen, welche Funktion wir benutzen, denn z.B. d dφ sinRAD(φ) = cosRAD(φ) aber d dφ sinDEG(φ) = π cosDEG(φ) 180◦ Im Zweifelsfall benutzen wir Winkel im Bogenmaß, sind Winkel im Gradmaß gefordert, geben wir das explizit an oder Kennzeichnen es durch Division des Winkels durch 1 ◦ oder 1 ′ . C Elementare Vektorrechnung Da die Positionsbestimmung in einer drei-dimensionalen Welt auf einer zweidimensionalen Erdoberfläche stattfindet, sind Darstellungen von Örtern und Richtungen durch Vektoren sehr hilfreich. Bevor wir also uns der sphärischen Trigonometrie auf der Kugeloberfläche zuwenden, erinnern wir uns an einige Grundlagen der Vektorrechnung. Vektoren sind eine Verallgemeinerung von einfachen reelen Zahlen zu Zahlengruppen, für die gewisse Rechenregeln gelten. In unserem Fall sind es jeweils zwei oder drei Zahlen, genannt Komponenten, die jeweils Achsenabschnitte des Vektors auf vorher festgelegte Koordinatenrichtungen definieren. Wir können Vektoren mit einem Buchstaben, z.B. r bezeichnen und mehrere Vektoren durch Rechenoperationen symbolisch verknüpfen. Das spart Schreibarbeit und hilft der Übersicht, weil wir nicht mehr alle einzelnen Komponenten explizit hinschreiben. Für konkrete Anwendungen müssen wir jedoch all diese Operationen in ihrer Wirkung auf die Komponenten des Vektors zurückführen. Entscheidend für die Interpretation der Komponenten ist das zugrundeliegende Koordinatensystem. Der gleiche Vektor hat verschiedene Darstellungen, i.e., Komponenten, wenn er sich auf verschiedene Koordinatemsysteme bezieht. Eine entsprechende Umrechnung nennt man Transformation. Derartige Operationen machen einen wichtigen Teil der deskriptiven Astronomie aus, denn je nach Situation werden verschiedene Koordinatensysteme benutzt. Unser geographisches Koordinatensystem ist nur eines davon. Hier die Grundregeln des Rechnens mit Vektoren mit, z.B. drei Komponenten: Multiplikation mit einer Zahl: cr bedeutet ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ r1 cr1 c ⎝ r2 ⎠ = ⎝ cr2 ⎠ (C.1) r3 cr3 Addition zweier Vektoren: r + s bedeutet ⎛ ⎝ r1 r2 r3 ⎞ ⎛ ⎠ + ⎝ Innere Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ r·s bedeutet ⎝ r1 r2 r3 ⎠· ⎝ 68 s1 s2 s3 s1 s2 s3 ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ r1 + s1 r2 + s2 r3 + s3 ⎞ ⎠ = r1s1 + r2s2 + r3s3 ⎠ (C.2) (C.3)
Äußere Multiplikation zweier Vektoren (Kreuzprodukt): r×s bedeutet ⎛ ⎞ ⎛ ⎠× ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ r2s3 ⎞ − r3s2 ⎠ (C.4) ⎝ r1 r2 r3 ⎝ s1 s2 s3 r3s1 − r1s3 r1s2 − r2s1 Alle diese Operationen sind von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig, auch wenn wir ihre Wirkung auf die Komponenten in einem (beliebigen rechtwinkligen) System hingeschrieben haben. Die skalare Multiplikation (C.1) macht nicht anderes als die Länge des Vektors um den Faktor c zu verlängern, die Vektoraddition hängt zwei Vektoren hintereinander. Das Skalarprodukt (C.3) projeziert Vektoren in gewisser Weise aufeinander. Das innere Produkt eines Vektors mit sich selbst gibt gerade die Summe der Komoponentenquadrate, also eine Verallgemeinerung des Pythargoras (A.1) auf mehr als zwei Dimensionen. Die Hypothenuse in zwei Dimensionen ist aber gerade die Länge eines zweidimensionalen Vektors mit den Katheten als die auf ein rechtwinkliges Koordinatenachsen bezogenen Komponenten. Somit liefert die Wurzel √ � r·r = r2 1 + r2 2 + r2 3 = |r| = r (C.5) gerade die Länge des Vektors r. Vektoren mit dem Betrag 1 nennen wir Einheitsvektoren. r s s r sin Das Skalarprodukt (C.3) verschiedener Vektoren gibt das Produkt aus Betrag der Vektorlängen und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen r·s = rs cos(φ) (C.6) Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn wir für r den Einheitsvektor (cos φ, sin φ) aus (A.5) und für s den Einheitsvektor (1, 0) entlang der x-Achse einsetzen. Zwei Vektoren sind demnach senkrecht aufeinander, wenn sie einen Winkel φ = π/2 miteinander bilden, also ihr inneres Produkt verschwindet. Das Kreuzprodukt liefert einen neuen Vektor, der senkrecht auf den zu multipliziernden Vektoren steht und dessen Länge der Fläche entspricht, die die beiden Vektoren aufspannen. Sein Betrag ist also gerade das Produkt aus Betrag der Vektorlängen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen |r×s| = rs sin(φ) (C.7) Das läßt sich wieder leicht überprüfen, indem wir für s den Einheitsvektor (cos φ, sin φ, 0) in (A.5) einsetzen und für r Einheitsvektor (1, 0, 0) entlang der x-Achse wählen. Heraus kommt aus der Multiplikation (C.4) dann gerade (0, 0, sin φ). Hätten wir in den obigen Beispielen nicht gerade den Einheitsvektor in x-Richtung genommen, sondern einen beliebig in der x-y Ebene orientierten Einheisvektor s = (cos ψ, sin ψ, 0), der mit r = (cos φ, sin φ, 0) einen Winkel φ − ψ bildet, so wären wieder die einfachsten Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen herausgekommen: D Sphärische Trigonometrie cos(φ − ψ) = r·s = cos φ cos ψ + sin φ sin ψ ⎛ ⎞ 0 sin(φ − ψ) = ⎝ 0 ⎠·(r×s) = cos φ sin ψ − sin φ cos ψ (C.8) 1 Jetzt das gleiche für Dreiecke auf der Einheitskugel. Jede Dreiecksseite eines sphärischen Dreiecks ist Teil eines Großkreises. Die Kantenlängen a, b, c des Dreiecks entsprechen den Winkeln im Kugelzentrum, wenn 69
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