Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung

X B
X A
c
B
A
B
a
c
A
A
C
b
B
c Y
Systemen als den Referenzmeridian, von dem aus die
Längenwinkel gezählt werden. Auf diesem Meridian liegen
somit die jeweiligen x-Achsen XA und XB der beiden
Koordinatensysteme. Die gemeinsame y-Achse Y
steht dann senkrecht auf dem Großkreis wie in der Abbildung
links. Die dritte Ecke C hat dann in jedem Koordinatensystem
seine eigene Darstellung:
⎛
C = ⎝ cos(λA)
⎞
cos(ϕA)
sin(λA) cos(ϕA) ⎠ A als z-Richtung
sin(ϕA)
⎛
C = ⎝ cos(λB)
⎞
cos(ϕB)
sin(λB) cos(ϕB) ⎠ B als z-Richtung (D.5)
sin(ϕB)
Wie man in der Abbildung leicht sieht, müssen die Komponentendarstellungen in den verschiedenen Systemen
sich ineinander umrechnen lassen, indem man eines der Systeme um die y-Achse um den Winkel
c dreht. Dann nämlich fällt es mit dem jeweils Koordinatensystem zusammen. Wie man mit hilfe der
Additionstheoreme (A.10) leicht sieht, wird eine solche Drehung durch folgende Rechenvorschrift für die
Umrechnug der Komponenten eines Vektors vermittelt:
xB =xA cos(c) − zA sin(c)
zB =xA sin(c) + zA cos(c)
yB =yA
Hier sind mit xA, yA, . . . jeweils die Komponenten des Vektors entlang der Achsen XA, YA, . . . des
Systems A und entsprechend B gemeint. Setzen wir diese Komponenten aus (D.5) ein, folgt
cos(λB) cos(ϕB) = cos(λA) cos(ϕA) cos(c) − sin(ϕA) sin(c)
sin(ϕB) = cos(λA) cos(ϕA) sin(c) + sin(ϕA) cos(c) (D.6)
sin(λB) cos(ϕB) = sin(λA) cos(ϕA)
In einem letzten Schritt müssen wir die Koordinatenwinkel durch die des Dreiecks ersetzen. Aus der
Abbildung entnehmen wir
λA = α , ϕA = π
2 − b , λB = π − β , ϕB = π
− a
2
Ersetzen wir als die Koordinatenwinkel durch die Dreieckswinkel erhalten wir schließlich aus (D.6)
cos(β) sin(a) = − cos(α) sin(b) cos(c) + cos(b) sin(c) (D.7)
cos(a) = cos(α) sin(b) sin(c) + cos(b) cos(c) (D.8)
sin(β) sin(a) = sin(α) sin(b) (D.9)
ein Beispiel für den Sinus-Kosinussatzes (D.7), den Sinussatz(D.9) und den Seitekosinussatz (D.8). Durch
Vertauschen von A, B und C erhalten wir alle möglichen Formen dieser Sätze.
Als letzte Dreiecksbeziehung leiten wir noch den Tangenssatz ab. Diesen erhält man sofort, indem
man jede Seite von (D.7) durch die jeweilige Seite von (D.9) dividiert und anschließend beide Seiten mit
73