Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung

Beweis Winkelkosinussatz:
Zu jedem sphärischen Dreick ABC gibt es ein komplementäres
Dreieck dessen Ecken in den Richtungen A ′ ∼ B ×C, B ′ ∼
C×A und C ′ ∼ A×B auf der Einheitskugel liegen. Umgekehrt
ist wegen
B ′ ×C ′ = (C ×A)×(A×B = [(C ×A)·B] ∼ A
wieder parallel zu A (wenn ABC ein rechthändiges Dreieck
ist). Die Komplementarität ist also reziprok. Zur Konstruktion
z.B. von B ′ und C ′ drehen wir B bzw. C in die Ebene senkrecht
zu A und in dieser Ebene um π/2 gegeneinander. Der
Kreisbogen zwischen B ′ und C’ hat dann die Länge
a ′ = π − α
Analog für die anderen Seiten und für die Rückkonstruktion vom komplementären zum ursprünglichen
Dreieck. Den Winkelkosinussatz erhalten wir, indem wir in den Seitenkosinussatz des komplementären
Dreiecks die Seiten- und Innenwinkel des komplementären durch die Innen- und Seitenwinkel des orginalen
Dreiecks nach obiger Beziehung ersetzen. Beachte (A.7), dass cos(π − α) = − cos(α) aber
sin(π − α) = sin(α) ist. �
Beweis sphärischer Sinussatz:
Wir drehen B entlang dem Großkreis von c nach B ′ , so dass B ′ senkrecht auf A steht. Genauso
erhalten wir C ′ durch Drehung von C. Nach Def. von sin und cos ist dann B = A cos(c) + B ′ sin(c) und
analog C = A cos(b) + C ′ sin(b). Mit A sin(α) = B ′ ×C ′ ergibt
A sin(α) sin(c) sin(b) =
B ′ sin(c)×C ′ sin(b) =
(B − A cos(c))×(C − A cos(b)) =
B×C − A×C cos(c) − B×A cos(b)
Skalare Multiplikation mit A gibt
und damit
sin(α) sin(c) sin(b) = A·B×C
sin(α)
sin(a) =
A·B×C
sin(a) sin(c) sin(b)
wobei die rechte Seite offensichtlich unabhängig von der Wahl
von A als Ausgangspunkt für unsere Konstruktion ist. �
Kosinus- und Sinussatz lassen sich ebenfalls elegant durch Koordinatentransformation beweisen. Dazu
fassen wir in einem sphärischen Dreieck zwei der Ecken, z.B. A und B als z-Achse eines jeweils eigenen
Koordinatensystems wie in (D.1) auf. Der Großkreis, auf dem A und B liegen, definieren wir in beiden
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B'
B'
2
B
B
cos c
c
sin c
A
a
A
b
C
2
C
C'
C'