Kleine Einführung in die Astronavigation und Astronomie 1 Einleitung

Da der Kosinus symmetrisch ist, liefert der Arkuskosinus immer zwei Lösungen mit beiden Vorzeichen.
Damit sie nicht vergessen werden, haben wir die beiden Vorzeichen explizit dazu geschrieben. Die beiden
Lösungen sind natürlich die zwei möglichen Schnittpunkte, die ein Breitenkreis mit dem Kreis der
Höhengleiche haben kann. Welches der beiden Vorzeichen das richtige ist, finden wir einfach heraus: liegt
das Gestirn im Osten, muss LHAr < 0 sein, liegt es im Westen muss LHAr > 0 sein.
Es gibt natürlich auch Breitenkreise, die mit dem Kreis der Höhengleiche gar keinen Schnittpunkt
haben. Haben wir zufällig eine entsprechende Rechenbreite gewählt, merken wir das in der Rechnung
daran, dass der Betrag des Arkuskosinus in (8.3) größer als eins wird. Wir wähen dann eine neue Breite,
die dichter an der Deklination Dec des Gestirn liegt.
Die beiden Koordinaten der Rechenorte (λr1, ϕr1) und (λr2, ϕr2), die wir so erhalten, tragen wir in die
Karte oder die Plottingsheet ein und verbinden sie durch eine Gerade, unsere Standlinie. Beachte, dass
sich bei der Berechnung von (8.3) für die beiden Rechenpositionen immer nur die Rechenbreite ϕr ändert,
die anderen Terme müssen nur einmal berechnet werden und können dann für beide Rechenpositionen
verwendet werden.
Die so gewonnene Standlinie ist eine Sekante an den Kreis der Höhengleiche. In Abb. 29 haben wir
das Ergebnis noch einmal dargestellt. Der besseren Sichtbarkeit wegen liegen die vorgewählten Breitenwerte
recht weit auseinander, so dass der Unterschied zwischen der gekrümmten Höhengleiche und der
approximierenden Standline deutlich wird. Mit zunehmendem Abstand der Rechenbreiten und auch mit
auch zunehmendem Abstand der wahren Position von diesen Breiten wird der Fehler der Approximation
der Höhengleiche durch eine Standlinie immer größer. Da dieser Fehler beim Verfahren von St. Hilaire
noch etwas kritischer ist, besprechen wir ihn dort ausführlicher.
Es kann vorkommen, dass wir uns bei der Wahl der Rechenbreiten erheblich verschätzen und unser
Standpunkt erheblich von den Rechenpositionen abweicht. In diesem Fall ersetzen wir die am weitesten
entfernte Rechenbreite durch eine Näherliegende, berechnen die neue Rechenposition und verbinden sie
durch eine neue Standline mit derjenigen der alten Rechenpositionen, die noch am dichtesten an unserem
vorläufig gefundenen Standort liegt. Mit dieser neuen Standlinie bekommen wir dann einen genaueren
Standort. Im Zweifelsfall iterieren wir das Verfahren bis sich die Standlinie nicht mehr verbessern läßt.
Die Konstruktion nach Sumner funktioniert gut, wenn das beobachtete Gestirn mehr oder weniger
im Westen oder Osten des Beobachters steht. Sie funktioniert nur schlecht, wenn das Gestirn nördlich
oder südlich steht. Dann ist die Vorauswahl zweier Breitenkreise ungünstig. Da der später gefundene
Standort möglichst zwischen den Breitenkreisen positioniert sein sollte, passiert es schnell, dass der eine
Breitenkreis die Höhengleiche gar nicht mehr schneidet.
Was ist zu tun ? Entweder gleich die Kulmination abwarten oder Sumners Idee leicht abändern, indem
man die Rechenbreiten durch Rechenlängen ersetzt. Die Gleichung (3.5) muss jetzt bei gewähltem λr nach
der Breite ϕ aufgelöst werden, was ein bischen mehr Rechenaufwand bedeutet.
Für eine Rechenlänge λr berechnen wir zur der Uhrzeit der Messung den Greenwich Stundenwinkel
GHA des Gestirns und damit den entsprechenden Stundenwinkel LHAr = GHA + λr. Die folgenden
Ausdrücke im Seitenkosinussatz (3.5)
a = sin(δ) , b = cos(LHAr) cos(δ) , c = sin(H) (8.4)
sind dann alle bekannt bzw. gemessen. (3.5) lautet mit diesen Abkürzungen
c = a sin(ϕ) + b cos(ϕ)
Diese Gleichung müssen wir nach ϕ auflösen. Dazu schreiben wir die rechte Seite mit dem Ansatz
um in (siehe Additionthereom A.10)
a = A sin(ϕ0) , b = A cos(ϕ0)
c = A cos(ϕ − ϕ0) wobei A = � a2 + b2 , ϕ0 = atan( a
) ,
b
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