Simulation des écoulements turbulents compressibles par une ...

Première partie 6
1.2.1 Décomposition des variables d'état
Dans le modèle choisi, les variables d'état de l'écoulement sont donc considérées comme des fonctions
aléatoires du temps et de l'espace. Les valeurs moyennes sont donc définies à partir de plusieurs
réalisations successives de la même expérience. Les variables d'état peuvent être décomposées en cette
partie moyenne q) et une partie fluctuante q)'. La partie moyenne p s'écrit sous la forme:
4- .4-
= q)(x) P(x) dx avec
¡ P(x) dx = i
- e-
P étant la densité de probabilité de q).
Dans le cas stationnaire et si la durée d'intégration T est grande par rapport aux échelles de temps de la
turbulence et petite par rapport au temps caractéristique du mouvement moyen, la moyenne entre
plusieurs réalisations peut être remplacée par une moyenne temporelle. Les variables se décomposent
alors de la manière suivante:
(p=cp+(p'avec (p'=O (1.10)
- (P=_J (p(M,t)clt
Tt
Ces décompositions, appelées décompositions de Reynolds, sont introduites dans les équations de
Navier-Stokes qui sont ensuite moyennées (cf. Boussinesq [13] et Reynolds [14]). La non linéarité des
équations fait apparaître des termes inconnus qu'il faut modéliser.
Effectuons, par exemple, ces opérations sur l'équation de continuité. La masse volumique p et la vitesse
u sont décomposées en partie moyenne et partie fluctuante:
p=p +p'
u= u +u'
Introduisons cette décomposition dans l'équation de conservation de la masse: