Simulation des écoulements turbulents compressibles par une ...

Première partie 22
- Utiliser des modèles spécialement adaptés, dits modèles à bas Reynolds, proches du modèle k-c
classique mais contenant des termes supplémentaires pour prendre en compte les effets visqueux [dans la
zone de paroi (cf. Patel et al.[19]).
- Eviter la résolution des équations au voisinage de la paroi en utilisant des lois analytiques pour
imposer des conditions aux limites à une distance 6, choisie à priori, de la paroi. Ces lois sont basées sur
des approximations de la couche limite incompressible (cf. Cebeci et al.[9]).
Ici, la deuxième alternative a été retenue car l'emploi d'un modèle à bas Reynolds nécessite aussi
l'utilisation d'un maillage très raffiné près de la paroi.
Pour obtenir ces lois de parois, on considère un écoulement stationnaire se développant sur une plaque
plane infinie. L'équation de la quantité de mouvement dans la direction tangentielle est écrite en prenant
en compte les approximations de la couche limite. Les termes de convection et de dérivée en temps sont
négligés ainsi que le gradient de pression longitudinal. Une analyse d'ordre de grandeur permet de
montrer que les termes de diffusion normaux sont prépondérants par rapport aux termes de diffusion
tangentiels. La loi de paroi est obtenue en intégrant cette équation simplifiée entre la paroi et une position
6 où les hypothèses de simplification restent valables.
(JaU.t
(Jau.tJ _tP
Re an u"1U'2)l
io Re an (1.53)
Cette relation traduit un équilibre entre les contributions laminaires et les contributions turbulentes. La
constante d'intégration tp mesure la contrainte de cisaillement pariétale. Sa racine carrée divisée par la
masse volumique, notée Uf, a la dimension d'une vitesse et est appelée vitesse de frottement.
Uf = 41
(1.54)
La couche limite se divise en une sous-couche visqueuse dans laquelle les contributions laminaires sont
prépondérantes et une zone appelée "zone logarithmique" où les effets turbulents sont dominants. Dans la
sous-couche visqueuse, la contrainte turbulente est négligeable. L'équation intégrée devient:
2 +
u.t=Re6uf=y Uf avecy+=Reöuf (1.55)
Dans la zone logarithmique la contrainte visqueuse est négligée tandis que la contrainte turbulente est
modélisé par une hypothèse longueur de mélange. En incompressible, on obtient: