Simulation des écoulements turbulents compressibles par une ...

Deuxième partie 48
divRT(gradWT) N1 dw = RT(gradW5 gradN1 (2.80)
T,iET
Les termes sources sont également intégrés par éléments finis. Comme pour le calcul de k les
variables d'état sont moyennées par triangle ce qui permet de calculer sur chaque triangle, une
valeur moyenne de ST(W'T).
Les équations de k et £ peuvent aussi être écrites en coordonnées cylindriques. Le changement de
repère n'introduit pas de termes sources supplémentaires. Les intégrales de surface sont alors
remplaçées par des intégrales pondérées par le rayon.
2.4 Prises en compte des conditions aux frontières
On distingue les conditions aux limites imposées en entrée et sortie, les frontières de glissement et les
parois solides. La détermination d'un système de conditions aux limites en amont et en aval n'est pas
triviale car le nombre de conditions aux limites à spécifier dépend du nombre de Mach et plus
précisement du signe des valeurs propres de la matrice des flux. Ces conditions sont introduites de
manière faible par l'imposition de flux. Sur les parois solides, des conditions fortes de Dirichiet sont
imposées en laminaire. Le traitement numérique des lois de paroi fera l'objet du paragraphe suivant.
2.4.1 Cas des frontières d'entrée:
Les conditions aux limites en entrée sont imposées par la donnée des flux rentrants dans le domaine.
Pour ce calcul de flux, on ne tiendra compte que des flux de convection F(W) et on négligera les flux
diffusifs R(W, gradW) (ce qui peut s'interpréter comme une condition de type Neuman pour un
écoulement établi). Le nombre de conditions aux limites à spécifier en un point donné dépend du
nombre de Mach et plus précisement du nombre de valeurs propres négatives de la matrice A des
flux. Le calcul des flux se fait alors en utilisant une décomposition suivant les caractéristiques par le
schéma de Steger-Warming. Soit i un point sur la frontière et n la normale extérieure, le flux de W en
i dans la direction n fait intervenir un état W°° du fluide à l'extérieur et l'état du fluide en i. Le flux de
Steger-Warming s'écrit alors:
F(W). n = A(W,n) Wi + A-(W ,fl )W (2.81)
On utilise donc l'état du fluide à l'extérieur W pour le calcul des flux le long des caractéristiques
rentrantes (i.e. correspondant à des valeurs propres négatives) et l'état W du fluide en i pour le
calcul des flux le long des caractéristiques sortantes. Mais le calcul des flux rentrants fait intervenir
explicitement toutes les valeurs de Woe. Dans le cas subsonique (Ma