Simulation des écoulements turbulents compressibles par une ...

Deuxième partie 40
l'accélération de la convergence. Pour cela, on évalue pour chaque triangle une mesure de l'aire du
triangle ainsi que le maximum des.valeurs propres. Le pas de temps est alors déduit du CFL imposé:
dt = dx * max(?.)/ CFL (2.47)
Pour accéder à des solutions stationnaires, un schéma implicite a également été construit (cf. Steve
[5]). Dans ce cas, à chaque pas en temps, on effectue:
une phase physique explicite permettant le calcul d'une première estimation w*rI+l:
W*fl+1 = W1" + Att" /mes(C) G(W") (2.48)
une phase mathématique implicite de correction, pour calculer la valeur W"':
M(W") (Wfl+1 - W") = W*fl+1 - W" (2.49)
où M(W') est une approximation de la matrice jacobienne de G(W").
Les schémas implicites conduisent à des méthodes de résolution plus efficaces car elles permettent
l'utilisation de grands pas de temps mais leur implémentation est plus complexe. Pour des raisons de
simplicité, nous avons choisi de tester le modèle k-c avec une méthode explicite, le passage en
implicite étant étudié parallèlement à l'INRIA par C. Olivier [14].
2.2 Formulation axisymétrique de la méthode éléments
finis / volumes finis
Pour étendre le domaine d'utilisation du code, la méthode a été étendue aux écoulements
axisymétriques. Pour cela, les équations régissant l'écoulement sont d'abord écrites dans le repère
cylindrique, puis intégrées sur des volumes élémentaires. Par rapport au cas plan, les principales
différences résident dans la pondération des intégrales par le rayon, ainsi que dans l'apparition de
termes sources supplémentaires. On peut également considérer une autre approche du problème
consistant à écrire une formulation tridimensionnelle dans un repère cartésien en construisant des
cellules tridimensionnelles d'angle O, puis à faire tendre l'angle O vers 0. Après passage à la limite,
on retrouve alors la formulation finale précédente.
2.2.1 Projection dans le repère axisymétrique et mise sous forme symbolique
Les équations de Navier-Stokes sont réécrites dans le repère cylindrique (er, er, eo). On note alors
(x,r,O) les coordonnées cylindriques dans ce repère. Pour un écoulement axisymétrique, les variables
thermodynamiques du fluide p, E, p ne dépendent pas de l'angle O et la vitesse u s'écrit sous la
forme: