Simulation des écoulements turbulents compressibles par une ...

Première partie 15
1.3.3 Equation modélisée de e
L'équation exacte du taux de dissipation; est très complexe et ne sera pas détaillée ici. On peut se réfèrer
à Tennekes et Lumley[1] ou Hanjalic et Launder[18] pour l'établissement de cette équation dans le cas
incompressible. Dans le cas compressible, l'équation a été construite par Vandromme [8] à partir de
l'expression:
=
Aprés un développement du tenseur des contraintes, le taux de dissipation se met sous la forme:
- - ¡au1 + j'I
òx) ax1
2 'xj auk au»
On cherche à obtenir une expression semblable à celle obtenue en incompressible, ne faisant intervenir
que des fluctuations de vitesse et étant toujours positive. Pour cela, les produits de vitesse moyenne par
les moyennes de fluctuations, qui sont nuls en incompressible, sont négligés dans l'expression ci-dessus.
On peut alors la mettre sous la forme:
- -
-
2i\2 2 au»2
a ax1) 3xj
On peut facilement montrer que cette expression est toujours positive, en effet les termes faisant partie de
la divergence se simplifient et l'expression se développe sous la forme:
(au'j au" ¡au"i au"2\2)
= 1(M3
kòxi ax1) k ax2 ax1 J i.
La modèlisation de l'équation exacte est basée sur une analyse de l'ordre de grandeur des différents
termes qui permet d'obtenir une équation simplifiée pour les grands nombres de Reynolds. Les termes
restants sont modélisés par analogie avec l'équation de i. II reste finalement:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
p+comp.
(1.35)