Th`ese de Doctorat L'ECOLE CENTRALE DE LYON Ecole Doctorale ...

CHAPITRE 3.MODÈLE STOCHASTIQUE DE LANGEVINLa vitesse Lagrangienne des petites échelles v > i (t|X 0,t 0 ) doit être déterminée. Onva appliquer les équations de Langevin et le modèle à une particule aux fluctuations devitesse des petites échelles.3.7.1 Formulation du modèleSelon les équations de Langevin en formulation discrète, on peut écrire le mouvementet la vitesse des petites échelles des particules sous la forme:⎧⎪⎨⎪⎩X > iv > in+1 = v> in+1 =n + v i>2n+1(1 − ∆t )TL> v i>∆tn + σ v >√∆tT > L(2 − ∆t )(3.56)TL> ξ n+1où v i> n et v i> n+1 sont respectivement la vitesse de particule Lagrangienne des petiteséchelles à l’instant n∆t et à l’instant prochain (n+1)∆t . L’échelle de temps Lagrangiennede sous-maille est donnée par:T > L = 2σ2 v >C 0 ǫ > (3.57)où σ u> est l’écart type de vitesse des petites échelles, et ǫ > la dissipation réalisée dans lazone des petites échelles.3.7.2 Détermination des grandeurs de sous-mailleEnergie moyenne des petites échelles E sgEvaluation globale dans l’espace spectralPour déterminer le paramètre σ v > , on peut d’abord calculer l’énergie résiduelle desous-maille E sg (en anglais, c’est subgrid energy). Naturellement, dans la simulation desgrandes échelles, l’énergie totale peut être décomposée en deux parties: l’une pour lesgrandes échelles, et l’autre pour les petites ( figure 3.4).E totale = E grande + E sg (3.58)Selon la loi de Kolmogorov de 1941 ( Lesieur [15]), le spectre de l’énergie cinétiqued’une turbulence homogène isotrope à grand nombre de Reynolds, décroît en suivant une103