Th`ese de Doctorat L'ECOLE CENTRALE DE LYON Ecole Doctorale ...

3.5.MODÈLE STOCHASTIQUE À UNE PARTICULE EN TURBULENCE HOMOGÈNE ISOTROPEAfin de déterminer les coefficients intervenant dans l’équation de Langevin (3.2), onva se positionner dans le cas le plus simple: une turbulence homogène isotrope et statistiquementstationnaire sans vitesse moyenne.⎧⎨u i (x,y,z,t) = 〈 u i (x,y,z,t) 〉 + u ′ i(x,y,z,t)⎩〈 u i (x,y,z,t) 〉 = 0(3.4)où l’on a fait la décomposition du champ de vitesse de particule u i en sa moyenne 〈 u i 〉et sa fluctuation u ′ i .Par analogie avec les travaux de Langevin, on développe une méthode pour rechercherles variations de vitesse des particules avec le temps. Cette approche caractérisant latrajectoire aléatoire d’une particule dans un écoulement turbulent est issue d’une analogieavec le modèle de déplacement microscopique d’une molécule suivant la théorie dumouvement brownien. On peut écrire une équation de Langevin classique sous la forme:⎧⎪⎨⎪⎩dv i (t|X 0 ,t 0 )dt〈f i 〉 = 0= av i (t|X 0 ,t 0 ) + f i(3.5)On considère qu’il y a deux forces qui contrôlent le mouvement de la particule, l’unest la force d’amortissement qui est proportionnelle à la vitesse de la particule, l’autre estla force aléatoire qui est nulle en moyenne. La difficulté est de comprendre cette forcealéatoire.3.5 Modèle stochastique à une particule en turbulencehomogène isotrope3.5.1 Approche discrèteOn suppose dans ce paragraphe que la turbulence est homogène, isotrope et statistiquementstationnaire. On se limite ici à l’analyse du cas idéal de la dispersion turbulentetridimensionnelle. Dans la suite, les variables Eulériennes seront indicées par la lettre Eet les variables Lagrangiennes par la lettre L .La particule issue de la source sera convectée par le champ fluctuant dans les troisdirections. Elle sera déterminée par sa position X i (t|X 0 ,t 0 ) et sa vitesse v i (t|X 0 ,t 0 ) . Ons’intéresse dès lors à la détermination du modèle qui va nous donner le champ fluctuant.Dans un écoulement où le nombre de Reynolds est suffisamment grand, on pourra faire88