Th`ese de Doctorat L'ECOLE CENTRALE DE LYON Ecole Doctorale ...

CHAPITRE 4. LES COUPLÉE AVEC LE MODÈLE STOCHASTIQUE LAGRANGIEN DE SOUS-MAILLEY (τ) =∫ t=t0 +τ ∫ t=t0 +τLe déplacement moyen de toutes les particules est:dY = V (t;t 0 ,X(t 0 ))dt (4.7)t=t 0 t=t 0Y (τ) =∫ t=t0 +τt=t 0〈 V (t;t 0 ,X(t 0 ))〉 L dt (4.8)où 〈 〉 indique la moyenne Lagrangienne pour toutes les particules. Dans notre casstatistiquement homogène, isotrope et stationnaire, 〈 V (t;t 0 ,X(t 0 ))〉 L = 0 , donc Y (τ)reste nul.On peut définir la dispersion des particules par:X(t) = rms(X(t)) = √ 〈(X(t;t 0 ,X(t 0 )) − X(t 0 )) 2 〉 L (4.9)où X(t 0 ) est la position initiale de la particule fluide à l’instant initial t 0 , X(t;t 0 ,X(t 0 ))est la position de la même particule à l’instant t .La forme théorique classique pour le cas statistiquement stationnaire est (Monin &Yaglom [13]):⎧⎨X(t) = σ v t ; (t ≪ T L )⎩ √X(t) = σ v 2TL t ; (t ≫ T L )(4.10)où σ v est l’écart type de la vitesse des particules, et T L l’échelle intégrale temporelleLagrangienne.On présente la dispersion des particules à temps court sur la figure (4.24). Le résultatde simulation numérique est en bon accord avec l’analyse théorique.Sur les figures (4.25, 4.26), les résultats d’évolution de rms(X) sont tracés. La figure(4.25) correspond au nombre de Reynolds Re λ = 94 , et la figure (4.26) à Re λ = 65 .Nous pouvons constater qu’aussi bien pour les temps longs que pour les temps courts, ladispersion des particules est reproduite avec fidélité par la simulation des grandes échelles.Pour les temps courts, t ≤ T L , la courbe théorique est très proche des résultats desimulation. En outre, la différence entre les deux simulations des grande échelles, sans ouavec le modèle stochastique de Langevin, reste très petite.Pour les temps longs, t ≥ 10T L , la dispersion des particules est progressivementaméliorée en ajoutant le modèle stochastique de sous-maille. Cette amélioration est plusclaire pour le cas où nombre de Reynolds Re λ est le plus grand.127