Th`ese de Doctorat L'ECOLE CENTRALE DE LYON Ecole Doctorale ...

CHAPITRE 1. EQUATIONS DE BASE ET MÉTHODE NUMÉRIQUE⎧∂u i⎪⎨ ∂t + u ∂u ij = − 1 ∂p+ ν ∂2 u i∂x j ρ ∂x i ∂x j ∂x j⎪⎩∂u i∂x i= 0(1.4)où u i est la vitesse dans la direction i , p la pression stationnaire, ρ la masse volumiqueet ν la viscosité cinématique.Comme on se focalise seulement sur la situation incompressible dans ce travail, leséquations de Navier-Stokes peuvent donc être ré-écrites sous la forme:∂u i∂t + ∂(u iu j )∂x j= − 1 ∂p+ ν ∂2 u i(1.5)ρ ∂x i ∂x j ∂x jDécomposition de ReynoldsDans la description statistique de la turbulence, on cherche, d’une part, à décrirel’évolution des champs moyens et fluctuants, et d’autre part, à mettre en évidence lestermes d’interaction entre ces deux champs.La décomposition de Reynolds est:u i (x,t) = 〈 u i (x,t) 〉 + u ′ i(x,t) (1.6)où u i est la vitesse totale en direction i , et 〈 u i 〉 la moyenne de vitesse, u ′ i la fluctuation.Dans ce travail, on reste dans des turbulences simples, de type homogène ou inhomogènesans cisaillement moyen, et on n’étudie que les caractères de fluctuation turbulente.La vitesse moyenne est ainsi considérée comme nulle en tous moments. Dans lasuite, on ne considère que la fluctuation de vitesse.〈 u i (x,t) 〉 = 0 ⇒ u i (x,t) = u ′ i(x,t)1.2.3 Equations dans l’espace spectralParmi les méthodes numériques employées pour la résolution de la partie spatiale deséquations aux dérivées partielles, les méthodes Différences Finies (DF) et les méthodesElément Finis (EF), ”méthodes locales”, utilisent des informations locales dans l’espacephysique; en revanche, les méthodes spectrales sont des ”méthodes globales” dans l’espace27