Th`ese de Doctorat L'ECOLE CENTRALE DE LYON Ecole Doctorale ...

CHAPITRE 3.MODÈLE STOCHASTIQUE DE LANGEVINm dv = −mµv + f(t) (3.2)dtoù m est la masse de particule, et v la vitesse Lagrangienne. Cette équation est appeléeaussi Equation de Langevin, et f(t) est aléatoire et suit une loi de probabilité gaussienne.Nous pouvons voir que, dans l’équation (3.2), le mouvement de la particule est dominépar deux forces caractérisant toutes les deux l’effet du fluide sur la particule. L’un estla force de frottement visqueux −mµv , caractérisée par le coefficient de frottement, etl’autre la force fluctuante f(t) , qui représente les impacts incessants des molécules dufluide sur cette particule dont l’effet moyen est représenté par le frottement. La forcefluctuante est supposée indépendante de la vitesse de la particule, elle est donc une forceextérieure, appelée force de Langevin.C’est le premier exemple d’une équation différentielle stochastique. La force de frottementet la force fluctuante représentent deux conséquences du même phénomène physique,les collisions de la particule avec les molécules du fluide.La plupart des modèles utilisés supposent que la position de la particule fluide évoluede façon markovienne, c’est-à-dire que la position future ne dépend que de son état présentet non de ses états antérieurs. Les variations de la vitesse à deux instants successifs sontalors décorrélées, et cela suppose que le temps intégral de l’accélération T a est beaucoupplus petit que le temps intégral T v de la vitesse:T a ≪ T vMonin et Yaglom [13] montrent que le rapport entre les deux échelles de temps estune fonction du nombre de Reynolds:T a = Re −1/2LT v (3.3)La condition T a ≪ T vgrand.n’est ainsi vérifiée que pour un nombre de Reynolds assez3.4 Rappel sur l’équation de Langevin classiqueOn considère des sources S i lâchant des particules fluides. On fait l’hypothèse quechaque particule suivie est constituée d’un ensemble indissociable de n molécules. Cecirevient à supprimer l’effet de la diffusivité moléculaire. Ces particules sont injectées defaçon passive, c’est-à-dire sans rajout de quantité de mouvement. On observe le mouvementde toutes les particules en même temps, et en suite, on fait une statistique (moyenned’ensemble) sur ces particules.87