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3.5.MODÈLE STOCHASTIQUE À UNE PARTICULE EN TURBULENCE HOMOGÈNE ISOTROPEOn ne peut pas obtenir cette valeur par intégration de la fonction de corrélationLagrangienne pendant la simulation numérique, surtout pour le temps court. Il fauttoutefois modéliser ce paramètre important pour résoudre l’équation de Langevin. Dansle chapitre 5 , on va montrer que ce paramètre joue encore un rôle important dans lemélange turbulent et la dispersion d’un scalaire.En effet, pour une turbulence homogène isotrope et statistiquement stationnaire, ona un modèle classique pour ce temps Lagrangien:T L = 2σ2 vC 0 ǫ(3.24)où C 0 est une constante, σ v l’écart type de vitesse, et ǫ la moyenne d’ensemble du tauxde dissipation de l’énergie cinétique turbulente.La constante C 0 varie en fait de 2.0 à 10.0 selon des travaux différents. Par exemple:C 0 = 2.0 ∼ 3.0 dans la thèse de Michelot [50]; Sawford [52], en utilisant les résultatsdes simulations numériques de Yeung [33], trouve que C 0 doit être égale à 7; Monin& Yaglom [13] proposent une valeur de 2.1; Yeung utilise C 0 est égale à 6.5 dans sonétude [31]. Une comparaison menée par Du [53] entre les courbes de dispersion verticaled’une source ponctuelle dans une turbulence de grille obtenues par le modèle à deuxéchelles de temps de Sawford [52] et des mesures expérimentales conduit à préférer unevaleur de 3.0 ± 0.5 . Il trouve qu’il y a une influence du nombre de Reynolds Re λ surcette constante C 0 .De plus, Sawford [54] a proposé une formule pour modifier ce paramètre:où ˜C 0 = 6.0 .C 0 =˜C 01 + 1.75 ˜C 02Re−1.64λ(3.25)deux vérifications de C 0Nous reviendrons sur le problème posé par cette ’constante’ car, si c’est l’uniqueparamètre du modèle stochastique à une particule et une échelle de temps, sa valeurexacte en est d’autant plus importante pour la justesse des résultats statistiques obtenuspar simulation numérique. Nous avons vérifié la valeur de cette constante par deux approches:1. On peut déterminer cette constante C 0 par les résultats statistiques de la simulationDNS.C 0 = 2σ2 uT L ǫ = 4 k3T L ǫ(3.26)94
CHAPITRE 3.MODÈLE STOCHASTIQUE DE LANGEVINDans les trois tableaux ci-dessous (Tableau 3.1, 3.2 et 3.3), on montre les valeurscaractéristiques de l’énergie cinétique et la dissipation. L’échelle intégrale temporelle vientde l’intégration de la fonction de corrélation de vitesse Lagrangienne (équation 3.23) enDNS.Re λ = 65 k ǫ T L C 0DNS 128 3 430 940 0.133 4.59Tableau 3.1: calcul le paramètre C 0 . Re λ = 65 .Re λ = 94 k ǫ T L C 0DNS 256 3 460 1000 0.129 4.75Tableau 3.2: calcul le paramètre C 0 . Re λ = 94 .Re λ = 135 k ǫ T L C 0DNS 256 3 480 1040 0.134 4.59Tableau 3.3: calcul le paramètre C 0 . Re λ = 1352. On peut aussi déterminer C 0 par la fonction de structure Lagrangienne aux tempscourts.On utilise la fonction de structure temporelle Lagrangienne qui peut par ailleurs êtreécrite: (Monin et Yaglom [13]):D L ij(t 0 ,τ) = 〈(v i (t 0 + τ) − v i (τ)) 2 〉 (3.27)où t 0 est le temps initial, τ l’intervalle de temps, et v i la vitesse de la particule Lagrangienne.En effet, pour un intervalle de temps τ tel que 1 soit une fréquence située dans laτzone inertielle, la fonction de structure temporelle Lagrangienne est égale à (Monin etYaglom [13], Sawford [54]):D L ij(τ) = C 0 ǫ(τ)δ ij t η ≤ τ ≤ T L (3.28)où t η et T L sont respectivement l’échelle de temps de Kolmogorov et l’échelle intégraletemporelle Lagrangienne.Dans les figures (3.1, 3.2, 3.3), on peut voir clairement que le modèle (Equation 3.28)décrit convenablement la fonction de structure Lagrangienne aux temps courts avec laconstante C 0 valeur 3.6 ∼ 4.3 , qui est proche des résultats de DNS. Dans la suite, onfixe cette constante C 0 à une valeur de 4.5 dans le modèle donnant l’échelle de tempsLagrangienne T L (Equation 3.57).95
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