Th`ese de Doctorat L'ECOLE CENTRALE DE LYON Ecole Doctorale ...

1.2. EQUATIONS DE BASEspectral, au sens où elles utilisent pour la plupart, des polynômes d’ordre élevé ou desséries de Fourier.Dans les contextes adaptés, les méthodes spectrales présentent une précision inégaléepar les méthodes locales, à nombre de points équivalent. De plus, lors de calculs sur desgrands domaines dans le cas ou le nombre de Reynolds est élevé, les méthodes spectralesont l’avantage de permettre l’utilisation d’un maillage plus grossier. Mais ces méthodesspectrales ne sont pas toujours valables et adaptées, surtout pour les cas de domainesirréguliers ou de frontières compliquées (parois, etc.).Dans ce travail, le domaine physique pour nos simulations numériques se limite à uneboîte cubique, et les conditions aux limites sont périodiques, c’est-à-dire il n’y a pas defrontière réelle. De plus, nous voulons utiliser les simulations numériques directes quidemandent une précision élevée. La méthode spectrale est bien adaptée à ce type deproblème et sera la méthode numérique choisie pour cette thèse.Transformée de FourierLes transformées de Fourier sont très fréquemment utilisées en turbulence, et ellespermettent d’analyser la turbulence en terme de différentes échelles. On les appelle engénéral ”analyse spectrale”. En effet, elles sont utiles tant du point de vue de l’algorithmede résolution (dans le cas de la simulation numérique spectrale), que de l’analyse physiquedes champs turbulents.On rappelle ici la définition de la transformée de Fourier en trois dimensions:û i (k,t) =( ) 3 ∫ 1 +∞u i (x,t)e −i(x·k) dx (1.7)2π −∞u i (x,t) =∫ +∞−∞û i (k,t)e i(x·k) dk (1.8)où u i (x,t) est la vitesse dans l’espace physique, et û i (k,t) son correspondant dansl’espace spectral.On applique la Transformée de Fourier à l’équation de conservation de masse:k i u i (k) = 0 (1.9)et à l’équation de Navier-Stokes:( ) ∂∂t + 2νk2 û i (k) = T i (k) (1.10)28