Th`ese de Doctorat L'ECOLE CENTRALE DE LYON Ecole Doctorale ...

3.5.MODÈLE STOCHASTIQUE À UNE PARTICULE EN TURBULENCE HOMOGÈNE ISOTROPE〈 ξ n ξ m 〉 = δ nm (3.11)En fait, dans l’équation de Langevin sous forme discrète, on écrit la vitesse de laparticule Lagrangienne v n+1 sous la forme d’une somme d’une partie linéaire déterministea v n (qui conservera la gaussiennité) et d’un processus de Wiener bξ n+1 où les ξ n sontdes variables aléatoires suivant la loi normale, non corrélée entre elles (l’effet de mémoirea déjà été introduit dans la partie déterministe).Il reste deux paramètres a et b à déterminer.• β . En multipliant l’équation (3.8) par v n+p et en moyennant cette nouvelle égalité,on obtient :〈v n+1iv n+pi 〉 = a 〈vi n v n+pi 〉 = ... = a p+1 〈(vi n ) 2 〉 (3.12)soit, en utilisant hypothèse (H2) :〈vi n v n+pi 〉 = a p σv2En sommant ces termes sur p , on trouve, compte tenu de l’hypothèse H3, la valeurde a :a = 1 − ∆tT Loù ∆t est l’intervalle de temps, T L l’échelle de temps intégral Lagrangienne et σ v l’écarttype des fluctuations de vitesse de particule marquée (Lamb [48]). Dans ce qui suit, onva s’intéresse au choix de ces paramètres.• γ . Si maintenant on élève l’équation (3.8) au carré et l’on moyenne cette nouvelleexpression, on obtient:soit:b 2 = (1 − a 2 )σ 2 v√ (∆tb = σ v 2 − ∆t )T L T LLa formulation discrète du système final d’équations donnant la position de la particules’écrit alors:90