Diktat kuliah.pdf - Fisika Universitas Padjadjaran

(H, LHrH)* ===2 2( ω c )2 2( ω c )r r( L H,H)Hr r* (H,H)r r(H,H)(7.10)Maka operator LHadalah Hermitian. Karena itu biasanya untuk menghitung bandgappertama dilakukan untuk medan H, baru kemudian medan E melalui :r r ⎛ ic ⎞ r r rE()= ⎜−r ⎟∇ × H()(7.11)⎝ ωε()⎠Karena ε bersifat periodik dalam ruang, maka kita dapat menerapkan teoremaBloch ke dalam persamaan Master, seperti halnya dalam kasus persamaan elektrondalam kristal biasa dengan potensial periodik akibat susunan atom yang teratur. MedanE dan H dicirikan oleh vektor gelombang k dalam zona Brillouin pertama dan indekspita/band n:r r r r r r r rE() = E r () = u r () exp( ik •)kn knr r r r r r r r(7.12)H= H r= v rexp ik •() () () ( )kndimana fungsi-fungsi u ( r) dan v r ( r )ruknr r r rr adalah periodik yang memenuhiknknr r r r r r r r r+ . Karena fungsi-fungsi diatas juga periodik( r a ) = u r ( r) dan v r ( r + a ) v r ( r)knr =i knkn iknterhadap ruang, maka dapat diungkapkan dalam deret Fourier seperti halnya ε () r :r r r r r r rE r= E r G exp i k + G •rHknrkn() ∑ ( ) { ( ) }r knGr r r r r r() = H r ( G) exp{ i( k + G)•}∑rGknDengan mensubstitusikan kedalam persamaan Master, maka diperoleh :−−∑rG'∑rG'εε2r r r r r r r r ωrr rkn( G − G' )( k + G' ) × {( k + G' ) × E r ( G' )} = E r ( G)2r r r r r r r r ωrr rkn( G − G' )( k + G' ) × {( k + G' ) × H r ( G' )} = H r ( G)Dimana ω kn merupakan frekuensi eigen dari medan E r ( r) dan H r ( r)knkncc22knknrknrrknr−1 r(7.13)(7.14). Denganmenyelesaikan salah satu dari dua persamaan diatas secara numerik, maka akandiperoleh hubungan dispersi dari eigenmodes atau photonic bandgap (PBG) stucture.122