Diktat kuliah.pdf - Fisika Universitas Padjadjaran

dimana X, Y dan Z adalah fungsi-fungsi riil. Bila persamaan tersebut disubstitusikan kedalam persamaan paraksial Helmholtz, diperoleh:22⎛ ∂ X ∂X⎞ 1 ⎛ ∂ Y ∂Y⎞⎜ 2u ⎟ ⎜ 2 ⎟−+ kW22u u+Y− νΧ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ν ∂ν ⎠1 2∂Z∂z() z = 0(3.32)xydimana u = 2 dan ν = 2 .W(z)W(z)Dengan menggunakan teknik pemisahan variabel (dibahas dalam mata kuliah FisikaMatematik), maka diperoleh:21 d X− +22 du21 d Y− + ν22 dν2⎡ ⎛ z ⎞ ⎤z0⎢1+⎜ ⎥⎢ z⎟0⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦dXududYdνdZdz= µ X= µ12= µY1+ µ2(3.33)Pers. (3.33) adalah persamaan eigen dengan nilai eigen µ = l;l 0,1,2 ,... danfungsinya adalah polinom Hermit.dimana:X(u)1 == H (u)(3.34)lH(u)H (u) = 10H (u) = 2u1H (u) = 4u22uH (u) − 2lHl+ 1 = ll−12− 2(u)(3.35)Dengan cara yang sama, maka:µ2= mΥ(ν)= Hm( ν)(3.36)Substitusiµ = l µ m kedalam pers. (3.33) dan kemudian integrasikan, diperoleh:1 , 2 =Z() z = ( l + m)()ξ z−1⎛z()⎟ ⎞ξ z = tan⎜⎝ z0⎠(3.37)40