Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser
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www.matematicamente.it - <strong>Matematica</strong> C 3 <strong>–</strong> <strong>Geometria</strong> <strong>Razionale</strong> <strong>–</strong> 5. Circonferenza<br />
►1. Luoghi geometrici<br />
DEFINIZIONE. Nel piano, si dice luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che verificano<br />
una proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo geometrico.<br />
Ad esempio,<br />
• l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del<br />
segmento;<br />
• la bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.<br />
Se consideriamo la definizione “costruttiva” di asse di un segmento come retta perpendicolare al segmento<br />
stesso e passante per il suo punto medio, è possibile dimostrare che la nuova definizione di asse come “luogo<br />
geometrico” è equivalente alla precedente.<br />
Vale cioè il seguente<br />
TEOREMA. Nel piano, il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti dati, A, B, è la retta r,<br />
perpendicolare al segmento AB e passante per M, punto medio di AB.<br />
Dimostrazione<br />
Sia r la retta perpendicolare ad AB condotta da M punto medio di AB,<br />
dimostriamo che un generico punto P∈r è equidistante da A e B, e viceversa,<br />
un generico punto Q tale che QA≅QB appartiene ad r.<br />
Ipotesi : r ⊥ AB ; AM ≅ MB ; P ∈r Tesi: PA ≅ PB<br />
Dimostrazione.<br />
Uniamo P con A, B ed M. per ipotesi PM ⊥ AB, per cui, nel triangolo PAB,<br />
il segmento PM è contemporaneamente altezza e mediana relative al lato<br />
AB; pertanto il triangolo PAB è isoscele sulla base AB, da cui la tesi.<br />
Ipotesi : QA ≅ QB Tesi: Q ∈r<br />
Dimostrazione.<br />
Uniamo Q con A, B ed M. per ipotesi il triangolo QAB è isoscele sulla base<br />
AB; inoltre il segmento QM è la mediana relativa alla base del triangolo<br />
isoscele, per cui QM è anche altezza. dunque la retta QM coincide con la<br />
retta r, cioè l’asse di AB.<br />
Analogamente, se consideriamo la classica definizione di bisettrice di un<br />
angolo come la semiretta, interna all’angolo stesso, avente origine nel<br />
vertice dell’angolo, tale da dividere l’angolo stesso in due angoli congruenti,<br />
possiamo dimostrare che la nuova definizione di bisettrice come luogo geometrico è equivalente alla precedente.<br />
Vale cioè il seguente teorema.<br />
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