Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità Supponiamo infatti EG = AB + CD; prendiamo su EG il punto F che divida il segmento in due parti: EF=AB, FG=CD. Tracciando la perpendicolare in F ad EG, questa divide il rettangolo R3 in due rettangoli rispettivamente congruenti ad R1 e ad R2, e quindi R3= R1+R2. Poiché dunque valgono le due proprietà richieste dal teorema, avremo che: R1 : R2 = AB : CD, R2 : R3 = CD : EG, … , e quindi le due classi di grandezze sono direttamente proporzionali. In modo analogo si dimostra che: I rettangoli aventi basi congruenti sono direttamente proporzionali alle rispettive altezze. Gli archi di un stessa circonferenza sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli al centro. 13 Se tra quattro grandezze omogenee è vera la proporzione x : y = v : z, quali delle seguenti proporzioni sono vere di conseguenza? [A] x : v = y : z [B] x : z = v : y [C] v : x = x : y [D] z : y = v : x x 5 14 Sapendo che = y 7 e x 5 = z 4 completa la proporzione x : z = … : … x x 15 Sapendo che =2 e y z =3 24 Determina le misure dei lati di un trapezio sapendo che sono proporzionali ai numeri 3, 4, 5, 4 e che il perimetro è 80cm. Di che tipo di trapezio si tratta? 25 Il perimetro di un rettangolo misura 12 m. Sapendo che le sue misure sono nel rapporto 2/3, determina le misure dei lati. 26 Le misure di due segmenti sono tali che la loro differenza è 23 cm e che il loro rapporto è 4/5. Determina attraverso una proporzione le misure dei completa la proporzione x : z = … : ... segmenti. 16 Quattro grandezze A, B, C, D sono tali che 27 Determina le ampiezze degli angoli di un 3A=2B, 3C=2D. Verifica se sono in proporzione e in triangolo rettangolo sapendo che stanno tra di loro caso affermativo costruisci la proporzione. come 7 sta a 4. 17 Dimostra che se vale la proporzione 3A : 2B = 28 La differenza di due segmenti misura 7cm, 3C : 2D vale anche la proporzione A : B = C : D. determina le loro misure sapendo che 18 Siano A, B, C, D, E, F, G grandezze omogenee, a) uno è il doppio dell'altro b) uno è il triplo dell'altro dimostra che, se A : B = C : D e B : G = F : C dimo- c) uno è la metà dell'altro stra che A : F = G : D. d) uno è la quarta parte dell'altro 19 Le misure delle lunghezze dei lati di un trian- 29 La somma di due segmenti misura 12cm, golo sono proporzionali ai numeri 5, 6 e 10, sapendo determina le loro misure sapendo che che il perimetro misura 273 cm, determina le misure dei lati del triangolo. a) uno è il doppio dell'altro b) uno è il triplo dell'altro 20 Stabilire se in una stessa circonferenza le c) uno è la metà dell'altro corde sono direttamente proporzionali ai corrispon- d) uno è la quarta parte dell'altro denti angoli (convessi) al centro. 30 Determina le misure di due angoli α e β 21 Le ampiezze degli angoli di un triangolo sono sapendo che proporzionali ai numeri 6, 8, 10, determina le ampiezze degli angoli. a) = 22 Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono proporzionali ai numeri 3 e 4, determina le ampiezze degli angoli. 23 I lati di un rettangolo sono proporzionali ai numeri 6 e 15, sapendo che il perimetro del rettangolo misura 120 cm, determina le misure in cm dei lati del rettangolo. 2 e =130 ° 3 b) =12 ° e =3 c) = 3 e −=15 ° 4 d) = 1 2 e α e β sono complementari 144
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità ►7. Teorema di Talete, caso generale TEOREMA DI TALETE. Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali. Assumiamo come ipotesi di avere cinque rette parallele a, b, c, d, e. Dimostriamo che sono in proporzione i segmenti AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C' = BD : B'D' = … A questo scopo ricorriamo alla condizione necessaria e sufficiente dimostrata nel capitolo sulla proporzionalità tra grandezze: condizione necessaria e sufficiente affinchè due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: 1) a grandezze uguali della prima classe corrispondano grandezze uguali della seconda; 2) alla somma di due o più grandezze della prima classe corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti della seconda classe. La prima proprietà è stata dimostrata nel capitolo 5, quando abbiamo esposto il teorema di Talete: a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale. Dimostriamo allora che vale anche la seconda proprietà. Consideriamo il fascio di rette parallele tagliato da due trasversali della figura. Abbiamo come ipotesi che CD = AB + BC, dobbiamo dimostrare che C'D' = A'B' + B'C'. Poiché CD = AB + BC, determiniamo al suo interno il punto E che lo divide nei due segmenti: CE=AB, ED=BC. Tracciamo la parallela alle rette date passante per F, che intersecherà la trasversale t' nel punto F' . Per la prima parte del teorema, avremo che da CF=AB segue che C'F' = A'B' e da FD = BC segue che F'D'=B'C'. Ma C'D'=C'F' + F'D' = A'B' + B'C'▄ Conseguenze del teorema di Talete Dal teorema di Tale discendono due importanti corollari COROLLARIO 1. Una retta parallela ad un lato di un triangolo determina sugli altri due lati, o sui loro prolungamenti, segmenti proporzionali. Dimostrazione Sia ABC il triangolo in questione. Tracciamo una retta parallela al lato BC che intersechi gli altri due nei punti D ed E. Vogliamo dimostrare che AE : AD = EC : DB. Tracciamo una retta passante per A e parallela a DE e a BC. Ci troviamo così nelle condizioni di poter applicare il teorema di Talete, in quanto abbiamo tre rette parallele tagliate da due trasversali (AB ed AC), per cui possiamo scrivere la proporzione tra segmenti corrispondenti AE : AD = EC : DB. La stessa dimostrazione vale nel caso in cui la parallela al lato BC intersecasse i prolungamenti dei lati AB e AC▄ 145
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