Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza
TEOREMA. Se si divide la circonferenza in un numero n ≥ 3 di archi congruenti e si tracciano le
tangenti alla circonferenza negli estremi di archi consecutivi, i punti intersezione di tali tangenti
sono i vertici di un poligono regolare .
Dimostrazione
Dividiamo nuovamente la circonferenza in 5 archi congruenti, conduciamo
le tangenti negli estremi degli archi; otteniamo il pentagono
circoscritto ABCDE.
Congiungiamo ora gli estremi di tale archi, ottenendo, in base a
quanto dimostrato prima, il pentagono regolare inscritto NOPQR.
Consideriamo i triangoli che si vengono così a formare; sono tutti
triangoli isosceli in quanto abbiamo: A N R ≅ A R N ;
B O N ≅ BN O ; in quanto angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco; inoltre questi angoli sono tutti congruenti tra
loro in quanto angoli alla circonferenza che insistono su archi
congruenti. Infine i lati compresi tra questi angoli sono anch’essi tutti
congruenti tra loro perché lati del pentagono regolare inscritto.
Dunque questi triangoli sono tutti congruenti tra loro per il secondo
criterio di congruenza. Da qui possiamo dedurre che A ≅ B ≅ C ≅D ≅E perché angoli al vertice di triangoli
isosceli congruenti, e che AB ≅ BC ≅ CD ≅ DE ≅ EA perché somme di segmenti congruenti (i lati
obliqui dei triangoli isosceli). Quindi il poligono circoscritto, avendo tutti i lati e tutti gli angoli congruenti, è
regolare.
TEOREMA. Ad ogni poligono regolare si può sempre circoscrivere una circonferenza ed in esso se ne
può sempre inscrivere un’altra concentrica con la prima.
Dimostrazione
Consideriamo il pentagono regolare ABCDE. Tracciamo le bisettrici dei
due angoli consecutivi B , A , che s’incontrano in un punto O. Il triangolo
BOA è isoscele poiché O B A ≅ O A B in quanto metà di angoli
congruenti, quindi sarà BO ≅ AO . Congiungiamo ora O con il vertice
E. I triangoli BOA e AOE sono congruenti per il primo criterio di
congruenza, poiché hanno : AO in comune, AB ≅ AE perché lati del
poligono regolare, B A O ≅ E A O perché metà dello stesso angolo.
Dunque avremo che BO ≅ AO ≅ EO . Congiungendo successivamente
O con gli altri vertici si arriva a dimostrare in modo analogo che:
BO ≅ AO ≅ EO ≅ DO ≅ CO . Questo vuol dire che O è equidistante dai
vertici del poligono,ed è quindi il centro della circonferenza circoscritta.
Dimostriamo ora che ABCDE è circoscritto ad un’altra circonferenza di
centro O. I lati del poligono sono corde congruenti della circonferenza
ad esso circoscritta, e sappiamo che corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Dunque O è equidistante
da tutti i lati del poligono, ed è perciò il centro della circonferenza inscritta.
TEOREMA. Il lato dell’esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione
Disegniamo la circonferenza circoscritta di centro O e raggio R, cosa
che, in base al teorema precedente, è sempre possibile quando si tratta di
un poligono regolare. Congiungiamo due vertici consecutivi dell’esagono
con il centro della circonferenza e consideriamo il triangolo DOE.
Questo triangolo è isoscele in quanto OD ≅ OE perché raggi della
circonferenza. Poiché se congiungessimo col centro O gli altri vertici del
poligono otterremmo, per quanto dimostrato in precedenza, sei triangoli
congruenti, l’angolo al vertice D O B sarà di 60°, in quanto si ottiene
dividendo per 6 l’angolo giro. Ma allora anche gli angoli alla base,
essendo congruenti tra loro, saranno di 60°, e quindi il triangolo è equilatero,
ed essendo OD ≅ OE ≅ R , sarà anche DE ≅ R .
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