Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche ►1. Generalità sulle trasformazioni geometriche piane Introduzione e definizioni “C’è una cosa straordinaria da vedere a Roma in questa fine d’autunno ed è il cielo gremito d’uccelli. Il terrazzo del signor Palomar è un buon punto d’osservazione… Nell’aria viola del tramonto egli guarda affiorare da una parte del cielo un pulviscolo minutissimo, una nuvola d’ali che volano… Quando si pensa agli uccelli migratori ci si immagina di solito una formazione di volo molto ordinata e compatta... Questa immagine non vale per gli storni, o almeno per questi storni autunnali nel cielo di Roma…” [Italo Calvino, Palomar] Il volo di questi uccelli disegna nel cielo figure in continua trasformazione, come potete vedere nelle foto. La danza degli stormi, foto di _Pek_ http://www.flickr.com/photos/_pek_/4113244536 Il concetto di trasformazione assume significati diversi a secondo dell’ambito in cui è definito: ad esempio in zoologia la trasformazione di un animale dallo stadio di larva allo stadio di adulto è più propriamente chiamata “metamorfosi”. Ciò provoca un cambiamento totale del corpo del giovane e l'adulto quasi sempre avrà una forma molto differente da quella della larva. Il gioco del Tangram si basa sulla capacità di passare da una figura ad un’altra senza che nessun pezzo del quadrato base venga tagliato o modificato nelle sue dimensioni: le figure che si ottengono hanno forme diverse, ma sono costituite dagli stessi pezzi. Possiamo dire che sono trasformate le une nelle altre grazie alla nostra fantasia. Line art representation of w:Tadpole, pubblico dominio http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Tadpo le_%28PSF%29.png 196 Auklet flock, Shumagins , foto di pubblico dominio fonte http://digitalmedia.fws.gov/ Tangram, immagine di Actam pubblico dominio http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons /thumb/7/7a/Tangram-man.svg/2000px-angramman.svg.png
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche In geometria si definiscono le trasformazioni come particolari corrispondenze aventi come dominio e codominio il piano considerato come insieme di punti e precisamente si enuncia la: DEFINIZIONE. Trasformazione geometrica piana è una corrispondenza biunivoca tra punti del piano; attraverso una legge ben definita; la corrispondenza associa ad un punto P del piano uno e un solo punto P’ dello stesso piano e, viceversa, il punto P’ risulta essere il corrispondente di un solo punto P del piano. Diciamo che P’ è l’immagine di P nella trasformazione. Indicata con Φ la legge della corrispondenza, per esprimere il legame tra P e P’ scriveremo: : P P ' o anche P P ' e leggeremo: in Φ al punto P corrisponde il punto P’, oppure P =P ' e leggeremo: Φ di P è uguale a P’ , scrittura che definisce la trasformazione geometrica come funzione del punto preso in considerazione. DEFINIZIONE. La trasformazione fa corrispondere ad una figura Ω del piano la figura Ω’ costituita dalle immagini dei punti della figura iniziale: Ω’ si definisce immagine di Ω in Φ e scriveremo: : ' o anche ' o ancora = ' Le trasformazioni geometriche che noi studieremo sono tali da far corrispondere ad una retta r la retta r’ individuata dai punti A’ e B’ immagine di due punti A e B scelti arbitrariamente su r. Tali trasformazioni sono chiamate collineazioni. DEFINIZIONE. Si chiama punto unito o fisso nella trasformazione il punto che coincide con la sua immagine. Se tutti i punti del piano coincidono con la propria immagine la trasformazione è l’identità. Per descrivere una trasformazione geometrica dobbiamo definire come si costruisce l’immagine di un qualunque punto del piano. Esempio Consideriamo nel piano la seguente corrispondenza: fissato un punto K la corrispondenza SK associa ad ogni punto P del piano il punto P’ dello stesso piano tale che K risulti il punto medio del segmento PP’. SK è una trasformazione geometrica? La definizione è costruttiva: P S x P '∧ PK ≡ KP ' A Sx A '∧ AK ≡KA ' Per dimostrare che la corrispondenza è una trasformazione geometrica dobbiamo verificare che si tratta di una corrispondenza biunivoca tra punti del piano: ogni punto ha un corrispondente in SK e viceversa ogni punto è immagine di un solo punto del piano stesso. Il punto K è corrispondente di se stesso dunque è un punto unito della trasformazione, anzi è l’unico punto unito. (fig.1) Nella figura 2 è rappresentato come opera la trasformazione SK se applicata ad un quadrato AK ≡ KA ' ; BK ≡ KB ' ; CK ≡ KC ' ; DK ≡ KD ' ABCD S K A ' B ' C ' D ' e i due quadrati hanno le stesse dimensioni. 197 fig.2 K fig.1
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