Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree TEOREMA 4: Ogni poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo avente per base il segmento somma dei lati del poligono e per altezza il raggio della circonferenza. Caso del poligono regolare (pentagono): Ipotesi : LO = MN , AF = KGGH HI IJ LK , AB = KG , BC = GH , CD = HI , DE = IJ EF = JK . Tesi : KGHIJ = ˙ AFM . Dimostrazione : I cinque triangoli che compongono il triangolo AFM sono equivalenti ai 5 triangoli che compongono il poligono assegnato, infatti hanno basi … … … … … … … … … … … altezza … … … … … . . … … … Quindi … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Caso del poligono qualunque: Lasciamo al lettore la costruzione di un poligono circoscritto a una circonferenza e del triangolo equivalente. Possiamo quindi affermare che ogni poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente ad un triangolo e per il teorema 2 è anche equivalente a un rettangolo. Si pone ora la questione: è possibile trasformare un qualunque poligono in un rettangolo equivalente? Costruzione di un rettangolo equivalente a un poligono assegnato Caso 1: poligono convesso Un qualunque poligono convesso può essere trasformato in un poligono equivalente avente un lato di meno. Esempio 1. In figura è rappresentato il quadrilatero convesso ABCD, ci proponiamo di costruire un triangolo equivalente ad esso. Dal vertice B tracciamo la parallela b alla diagonale AC; il vertice E è il punto di intersezione di b con la retta per DC. I triangoli ABC e ACE sono equivalenti in quanto hanno la stessa base AC e stessa altezza, poiché i loro vertici si trovano sulla retta b parallela alla base. Il quadrilatero ABCD si può pensare composto da ADC + ACB; il triangolo ADE è composto da … … … …; poiché sono poligono equicomposti possiamo concludere che ABCD = ˙ ACE . Esempio 2. Costruzione di un triangolo equivalente al pentagono convesso ABCDE rappresentato in figura. Tracciare la diagonale DB. Dal vertice C la parallela a DB. Prolungare il lato AB fino a incontrare in F la retta r. Congiungere D con F. Si ha che ABCDE = ˙ AFDE infatti … … … … Sul quadrilatero FDE procedere come nell'esempio 1. Conclusione. Ogni poligono convesso è equivalente a un triangolo e quindi a un rettangolo. 172
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree Caso 2: poligono concavo Premettiamo la costruzione di un triangolo con base assegnata equivalente ad un triangolo ABC dato. Sia ABC il triangolo e DE il segmento che vogliamo come base del triangolo equivalente. Sovrapponiamo il segmento DE al lato AC facendo coincidere D con A; l’estremo E è esterno al triangolo assegnato. Indichiamo con D1E1 la base del triangolo che stiamo costruendo equivalente ad ABC. Dopo aver congiunto B con E1 da C tracciamo la parallela a BE1 che incontra in M il lato AB. Il triangolo MD1E1 è equivalente ad ABC. Completate il ragionamento: Si ha per costruzione: D 1 B E 1 = ABCBCE 1 e D 1 B E 1 =D 1 M E 1 BME 1 . Quindi ABC=D 1 B E 1 −BCE 1 e D 1 M E 1 − BME 1 . I triangoli BCE 1 e BME 1 sono equivalenti avendo stessa base BE1 e stessa altezza perché ………………………………………… Possiamo concludere che ……………………… 5 Costruite il triangolo equivalente ad ABC e avente come base un segmento minore di AB. Passiamo ora alla costruzione di un rettangolo equivalente a un poligono concavo. Assegnato il poligono concavo ABCDE, spezziamo il poligono in 3 triangoli tracciando due diagonali, fissiamo arbitrariamente un segmento HK. iascun triangolo in cui è spezzato ABCDE può essere trasformato in un triangolo equivalente avente HK come base e dunque in un rettangolo avente HK come base; con questi rettangoli possiamo costruire sormontando l’uno all’altro il rettangolo equivalente ad ABCDE. Possiamo quindi concludere che un qualunque poligono è equivalente a un rettangolo. Da un poligono al quadrato equivalente Nella classe di equivalenza di un qualsiasi poligono c'è sempre un quadrato. Ossia, dato un poligono possiamo sempre trovare un quadrato equivalente. Abbiamo dimostrato che un qualunque poligono è equivalente a un rettangolo, ora vogliamo dimostrare che, dato un rettangolo esiste sempre un quadrato equivalente ad esso. Vediamo due possibili costruzioni. 1° modo Costruiamo la semicirconferenza di diametro DC e fissiamo su di esso il punto E tale che DE = AD . Dal punto E tracciamo la perpendicolare al diametro e sia F il punto di intersezione con la semicirconferenza. Il triangolo DFE è retto in F perché ……………………… Il quadrato avente come lato DF soddisfa la richiesta perché ……………………………. 173
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