Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser
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www.matematicamente.it - <strong>Matematica</strong> C 3 <strong>–</strong> <strong>Geometria</strong> <strong>Razionale</strong> <strong>–</strong> 1. Nozioni fondamentali<br />
►3. Gli enti fondamentali della geometria<br />
In questo paragrafo diamo un cenno del sistema assiomatico della geometria razionale facendo riferimento<br />
principalmente all’impostazione assiomatica di Hilbert.<br />
Concetti primitivi<br />
Sono concetti primitivi per la geometria il punto, la retta e il piano. Di essi non si dà una definizione e<br />
costituiscono la base per definire tutti gli altri enti della geometria.<br />
Oltre a questi tre enti primitivi occorre poi assumere l’esistenza di tre relazioni primitive tra gli enti geometrici:<br />
giacere su, stare fra, essere congruente a. Queste relazioni permettono di stabilire dei legami tra gli<br />
enti geometrici, per esempio: “un punto giace su una retta”, “un punto sta fra altri due punti”, “un segmento è<br />
congruente a un altro segmento”, …<br />
Esiste una simbologia convenzionale condivisa dagli studiosi per indicare questi enti:<br />
• per indicare un punto usiamo una lettera maiuscola, A, B, C, …;<br />
• per indicare una retta usiamo una lettera minuscola, a, b, c, …;<br />
• per indicare un piano usiamo una lettera greca: , , , .<br />
Ricordiamo l’alfabeto greco, per gli studenti che hanno poca familiarità con esso:<br />
Lettere greche minuscole: (alfa) , (beta) , (gamma) , (delta) , (epsilon) , (zeta) ,<br />
(eta) , (theta) , (iota) , (kappa) , (lambda) , µ (mi) , ν (ni) , ξ (xi) ,<br />
(omicron) , (pi o pi greca) , (rho) , (sigma) , (tau) , υ (ipsilon) , (fi) ,<br />
(chi) , (psi) , (omega) .<br />
Lettere greche maiuscole:<br />
Α , Β , Γ , ∆ , Ε , Ζ , Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω .<br />
Per il simbolo di congruenza si usa —<br />
• Degli enti fondamentali Euclide aveva dato le seguenti definizioni:<br />
• Punto è ciò che non ha parti.<br />
• Linea è lunghezza senza larghezza.<br />
• Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.<br />
Le definizioni in questo caso sono utili per farci un’idea intuitiva di essi. Tuttavia, come è già stato detto in<br />
precedenza, e da quanto si intuisce osservando le definizioni euclidee, per definire il punto si utilizza la<br />
nozione di parte: punto è ciò che non ha parti. Occorrerebbe quindi definire che cosa è una parte. Ma per<br />
definire un parte avremmo bisogno di altre nozioni di partenza, in un procedimento senza fine. Per questo<br />
motivo nell’impostazione assiomatica moderna si preferisce non dare la definizione dei tre enti primitivi e<br />
‘definirli implicitamente’ attraverso le proprietà di cui godono. Ciò significa che si preferisce dare maggiore<br />
importanza a come essi si comportano e cosa possiamo fare con essi, piuttosto che descrivere cosa sono.<br />
Dal punto di vista della rappresentazione grafica si usano le seguenti convenzioni:<br />
A<br />
C<br />
B<br />
punti rette<br />
r<br />
s<br />
Rappresentazione grafica degli enti fondamentali della geometria.<br />
16<br />
π<br />
piano