Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza
TEOREMA. La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai lati
dell’angolo.
Dimostrazione.
Sia r V s un angolo (di vertice V e di lati r ed s) e sia b la sua
bisettrice (semiretta di origine V che divide l’angolo a metà).
Verifichiamo prima che un generico punto P∈b è equidistante da r
e da s .
Ipotesi : P ∈b ; PK ⊥ s ; PH ⊥r ; K V P ≅ P V H .
Tesi: PK ≅ PH .
Dimostrazione.
Mandiamo da P le perpendicolari ai lati dell’angolo e chiamiamo
H∈r e K∈s i piedi delle due perpendicolari. Osserviamo che i
triangoli VPH e VPK, rettangoli rispettivamente in H e K, risultano
congruenti perché hanno rispettivamente congruenti l’ipotenusa e un angolo acuto, per i criteri di
congruenza sui triangoli rettangoli risultano congruenti. Pertanto i cateti PH e PK, opposti a V, risultano
congruenti, da cui la tesi (P equidistante da r e da s).
Ovviamente, un qualsiasi punto appartenente ad una delle
due semirette r o s che non sia il vertice V non può essere
equidistante da r e da s, mentre il punto V lo è (ha distanza
nulla da entrambe).
Verifichiamo ora che, se Q è un generico punto interno
all’angolo r V s , se Q è equidistante da r e da s, deve
risultare Q∈b.
IPOTESI: PK ⊥ s ; PH ⊥r ; PK ≅ PH .
TESI: K V P ≅ P V H .
Dimostrazione. Infatti, se mandiamo da Q le perpendicolari
alle semirette r ed s e chiamiamo L∈r, T∈s i piedi
delle perpendicolari, per ipotesi risulta QL≅QT. Se
uniamo Q con V, si vengono a formare due triangoli
rettangoli QLV e QTV con l’ipotenusa QV in comune ed
una coppia di cateti congruenti. Tali triangoli risultano pertanto congruenti per il quarto criterio (più semplicemente
per il criterio particolare dei triangoli rettangoli), e di conseguenza L V Q ≅ Q V T , per cui la
semiretta VQ coincide con la bisettrice b.
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