Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità
COROLLARIO 2. La retta che divide due lati di un triangolo (o i loro prolungamenti) in segmenti
proporzionali è parallela al terzo lato.
Dimostrazione
Abbiamo in ipotesi che AE : AD = AC : AB e dobbiamo dimostrare che
DE è parallela a BC.
Ragioniamo per assurdo; neghiamo quindi la tesi e supponiamo che DE
non sia parallela a BC. Esisterà allora un’altra retta passante per D e che
sia parallela a BC; questa retta intersecherà il lato AC in un punto F. Per
il teorema precedente avremo che AF : AD = AC : AB.
Ma per il teorema della quarta proporzionale sappiamo che la quarta
grandezza che con le tre date forma una proporzione deve essere unica, e
quindi il punto F deve coincidere con E e la retta DF coincidere con la
retta DE, che perciò è parallela a BC▄
Un’altra importante conseguenza del teorema di Talete è il teorema della bisettrice.
TEOREMA DELLA BISETTRICE. la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato
opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
Dimostrazione
L’ipotesi è A B D=D B C ; la tesi AD : DC = AB : BC.
Dal vertice C tracciamo la parallela alla bisettrice BD che
incontra il prolungamento del lato AB in E. Notiamo le
seguenti congruenze tra angoli:
A B D=B E C in quanto corrispondenti rispetto alle parallele
BD ed EC tagliate da AE;
D B C=B C E in quanto alterni interni rispetto alle parallele
BD ed EC tagliate da BC.
Confrontando queste congruenze con quella in ipotesi ed applicando
la proprietà transitiva della congruenza possiamo scrivere
B E C =B C E . Dunque il triangolo BEC è isoscele e
per questo ha due lati congruenti BE = BC.
Applichiamo ora il primo corollario del teorema di Talete al
triangolo AEC si ha AB : BE = AD : DC.
Per quanto appena dimostrato possiamo sostituire BC a BE ed
avremo AB : BC = AD : DC▄
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