Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser
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www.matematicamente.it - <strong>Matematica</strong> C 3 <strong>–</strong> <strong>Geometria</strong> <strong>Razionale</strong> <strong>–</strong> 5. Circonferenza<br />
2) Il centro O è interno all’angolo alla circonferenza<br />
Anche in questo caso abbiamo due possibilità:<br />
2a) I lati dell’angolo alla circonferenza sono entrambi secanti.<br />
Si conduca dal vertice V dell’angolo alla circonferenza P V Q il diametro VT; si ottengono in tal modo<br />
due angoli alla circonferenza P V T e T V Q la cui somma è proprio l’angolo P V Q . Tali angoli<br />
hanno il lato comune VT coincidente con il diametro e dunque, essendo P O T e T O Q i rispettivi angoli<br />
al centro, possiamo applicare ad ognuno di essi il risultato dimostrato al punto 1: P O T =2 PV T e<br />
T OQ=2T V Q .<br />
Ma la somma degli angoli P O T e T O Q è pari all’angolo al centro P O Q , corrispondente all’angolo<br />
alla circonferenza P V Q .<br />
Dunque P O Q=P O TT OQ=2 P V T 2T V Q=2 P V T T V Q =2 P V Q .<br />
2b) Un lato dell’angolo alla circonferenza è tangente.<br />
La dimostrazione è del tutto simile alla precedente. Il diametro VC divide<br />
l’angolo alla circonferenza P V T negli angoli P V C e C V T . Per<br />
il primo angolo vale quanto già dimostrato al punto 1a e ribadito al punto<br />
precedente: detto P O C il corrispondente angolo al centro, possiamo<br />
scrivere P O C=2 PV C . Inoltre, C V T è retto per costruzione, e<br />
difatti misura la metà del corrispondente angolo al centro C O V , che è<br />
proprio un angolo piatto (vedi quanto dimostrato nel punto 1b). Anche in<br />
questo caso, essendo P O V l’angolo al centro corrispondente all’angolo<br />
P V T , si dimostra che<br />
P O V =P O CT OQ=2P VC 2C V T=2 P V C C V T =2 P V T .<br />
Si noti che P O V è un angolo concavo, ovvero maggiore di un angolo<br />
piatto.<br />
3) Il centro O è esterno all’angolo alla circonferenza<br />
Anche qui abbiamo due casi:<br />
3a) Entrambi i lati dell’angolo alla circonferenza sono secanti.<br />
Sia P V Q l’angolo alla circonferenza. Tracciamo il diametro VT. Per<br />
quanto dimostrato al punto 1a, l’angolo al centro T OQ è il doppio<br />
del corrispondente angolo alla circonferenza T V Q , e T O P è il<br />
doppio dell’angolo T V P . Essendo P O Q l’angolo al centro corrispondente<br />
all’angolo P V Q , possiamo scrivere:<br />
P O Q=T O Q−T O P=2T VQ−2T V P=2 T V Q−T V P =2 P V Q<br />
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