Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 7. Similitudine SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli aventi due lati in proporzione e l’angolo tra essi compreso congruente sono simili. Con riferimento alla figura Ipotesi AC : DF = AB : DE C A B = F D E Tesi C = F ; B = E CB : FE = AB : DE Dimostrazione Se DF=AC, dalla proporzione in ipotesi AC:DF=AB:DE si avrebbe DE = AB e i due triangoli sarebbero congruenti per il primo criterio di congruenza, pertanto anche simili. Supponiamo AC>DF; su AC fissiamo un punto K in modo che AK=DF, da K tracciamo la parallela a CB che incontra AB in M. Si ha che M = B , K = C perché corrispondenti delle rette parallele KM e CB rispettivamente con trasversale AB e AC, dunque AMK e ABC sono simili per il primo criterio di similitudine, quindi AB:AM=AC:AK=CB:KM. Confrontiamo i primi due rapporti con l’ipotesi AK=DF per costruzione, quindi AM=DE poiché la grandezza quarta proporzionale dopo tre date è unica. I due triangoli AKM e DFE risultano congruenti avendo AK=DF per costruzione, AM=DE per averlo dimostrato, A = D . Di conseguenza i due triangoli hanno anche gli altri elementi congruenti, cioè KM=DE, M = E , K = F . Dai risultati ottenuti possiamo concludere AB:DE=AC:DF=BC:FE▄ TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli aventi i lati in proporzione sono simili. Ipotesi AC : DF = AB : DE = CB : EF Tesi A = D ; C = F ; B = E Dimostrazione Se DF=AC, dall'ipotesi si avrebbe anche DE=AB e FE=CB, i due triangoli sarebbero allora congruenti per il terzo criterio di congruenza e dunque anche simili. Supponiamo AC>DF; su AC fissiamo un punto K in modo che AK=DF e da questo tracciamo la parallela a CB che incontra AB in M ottenendo M = B e K = C perché corrispondenti delle rette parallele KM e CB rispettivamente con trasversale AB e AC. Per il primo criterio di similitudine ABC~AKM, possiamo allora scrivere AC:AK=AB:AM=CB:KM; confrontando con la proporzione nell’ipotesi e tenendo presente la costruzione effettuata e l’unicità della quarta proporzionale si deducono le congruenze AM=DE e KM=EF. Pertanto risulta AMK=DEF per il terzo criterio di congruenza e dunque anche A = D , K = F , M = E ; quindi anche A = D ; C = F ; B = E ▄ 154
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 7. Similitudine ►3. Proprietà dei triangoli simili Negli esercizi precedenti abbiamo dimostrato che In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le rispettive altezze. In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le rispettive mediane. In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le bisettrici uscenti da due vertici omologhi. Ricordiamo che il rapporto di similitudine è il rapporto tra due lati omologhi. TEOREMA 1. Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto di similitudine. Ipotesi: AB:A'B'=AC:A'C'=BC:B'C' Tesi: 2p : 2p' = AB : A'B' Dimostrazione Dall’ipotesi, applicando la proprietà del comporre si ha (AB+AC+BC):AB=(A'B'+A'C'+B'C'):A'B' permutando i medi si ottiene la tesi (AB+AC+BC):(A'B'+A'C'+B'C')=AB:A'B'▄ TEOREMA 2. Il rapporto tra le aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine. (Una definizione più rigorosa dell'area di un poligono verrà data nel capitolo seguente) Ipotesi: AB:A'B'=AC:A'C'=BC:B'C' Tesi: Area ABC : Area A ' B ' C ' = AB 2 : A' B ' 2 Dimostrazione Prendiamo come riferimento la figura, sappiamo che Area ABC = 1 2 AB⋅CH e Area A' B' C ' = 1 Area ABC 2 A' B '⋅C ' H ' quindi = Area A' B' C ' AB⋅CH AB CH = ⋅ A' B '⋅C ' H ' A' B' C ' H ' Per quanto stabilito al primo punto di questo paragrafo il rapporto tra le altezze è uguale al rapporto tra le basi: Area ABC = Area A' B' C ' AB AB AB2 ⋅ = A' B ' A' B' A' B' 2 ▄ 155
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