Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 4. Quadrilateri
TEOREMA. Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su
una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.
Ipotesi: a // b // c // d ; t1 , t2 trasversali; A 1 B 1 ≅ C 1 D 1 .
Tesi: A 2 B 2 ≅ C 2 D 2 .
Dimostrazione. Se fosse t1 // t2 , allora la
tesi seguirebbe facilmente dalle proprietà
dei quadrilateri particolari e dalla
proprietà transitiva della congruenza.
Infatti i quadrilateri A1B1B2A2 e C1D1-
D2C2 sarebbero due parallelogrammi, ed
avrebbero dunque i lati opposti
congruenti.
Altrimenti, tracciamo la retta r passante
per A2 e la retta s passante per C2 ,
entrambe parallele a t1 ; chiamiamo B il
punto d’intersezione tra b ed r e D il
punto d’intersezione tra d ed s .
I quadrilateri A1B1BA2 e C1D1DC2 sono
due parallelogrammi, per cui da A 1 B 1 ≅ C 1 D 1 segue, per la proprietà transitiva della congruenza,
A 2 B ≅ C 2 D . Dunque, se confrontiamo i triangoli A2BB2 e C2DD2 , questi risultano congruenti per il
secondo criterio (generalizzato), in quanto gli angoli in A2 e in C2 sono corrispondenti rispetto alle rette
parallele r, s tagliate dalla trasversale t2 , mentre gli angoli in B2 e D2 sono corrispondenti rispetto alle rette
parallele b, d tagliate dalla trasversale t2 e pertanto congruenti. Di conseguenza A 2 B 2 ≅ C 2 D 2 ▄
Osservazione. Nella figura precedente, i trapezi A1B1B2A2 e C1D1D2C2 sono stati “decomposti” in parallelogrammi
e triangoli. La sostanza del teorema non cambia però se le figure che si ottengono sono diverse.
Nella figura seguente, considerare, oltre alla corrispondenza tra i segmenti su t1 e t2 , anche la corrispondenza
tra i segmenti su t1 e t3 (parallele) e quella tra i segmenti di t2 e t3 (con C3 coincidente con C2).
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