Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza Vediamo ora alcune proprietà dei quadrilateri circoscritti TEOREMA. Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza, allora la somma delle lunghezze di due suoi lati opposti è uguale alla somma delle lunghezze degli altri due. Dimostrazione Sia il quadrilatero ABCD circoscritto alla circonferenza di centro O, come in figura. Siano P, Q, R, S i punti di tangenza rispettivamente dei lati AB, BC, CD, AD. Per il teorema sull’uguaglianza dei segmenti di tangente ad una circonferenza condotti da un punto esterno, si ha AP ≅ PS , BP ≅ BQ , CQ ≅ CR , DR ≅ DS , . Chiamando AP=p, BQ=q, CR=r, DS=s (vedi figura) si ha che: AB+CD = AP+PB+CR+RD = p+q+r+s, e che: BC+AD = BQ+QC+DS+AS = p+q+r+s. Per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, ho che AB+CD=AD+BC, che è proprio quanto volevamo dimostrare. TEOREMA INVERSO. Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due, allora il quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza. Anche questo teorema i dimostra per assurdo. Supponiamo che il quadrilatero non sia circoscrivibile. Sia ABCD il quadrilatero; tracciamo una circonferenza che sia tangente ai lati AB, BC e CD; questa esiste sicuramente poiché , se prolungassimo i lati AB (dalla parte di A) e CD (dalla parte di D), si formerebbe un triangolo, e in un triangolo è sempre possibile inscrivere una circonferenza. Supponiamo che la tangente condotta da A alla circonferenza intersechi la retta CD in un punto P diverso da D, che si trovi sul prolungamento del lato CD. Allora CP=CD+DP. Poichè ACBP è un quadrilatero circoscritto, possiamo applicare il teorema diretto: AP+BC=AB+CD+DP. Per ipotesi abbiamo: AB+CD=AD+BC; sostituiamo nella relazione precedente AD+BC al posto di AB+CD; otteniamo: AP+BC=AD+BC+DP Sottraendo ad ambo i membri BC si ottiene: AP=AD+DP. Siamo giunti all'assurdo, in quanto avremmo che nel triangolo ADP un lato è uguale alla somma degli altri due, mentre deve essere sempre minore. Quindi la tesi è vera. 128
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza 69 Quali dei seguenti gruppi di angoli possono essere angoli interni di un quadrilatero inscritto in una circonferenza? a) α=80° β=60° γ=100° δ=120° b) α=45° β=30° γ=45° δ=60° c) α=185° β=90° γ=90° δ=15° d) α=110° β=120° γ=70° δ=60° 70 Quali dei seguenti gruppi di angoli possono essere angoli interni di un quadrilatero inscritto in una circonferenza? a) a=80cm b=60cm c=1000cm d=120cm b) a=4,5cm b=3cm c=4,5cm d=3cm c) a=18,5m b=90cm c=0,5m d=100cm d) a=110cm b=120cm c=130cm d=120cm ►9. Poligoni regolari I poligoni regolari, cioè quelli che hanno tutti i lati e tutti gli angoli interni congruenti, sono sia inscrivibili sia circoscrivibili, e la circonferenza circoscritta e quella inscritta sono concentriche. Il centro comune alle due circonferenze si dice anche centro della figura. Nel caso di poligoni con un numero pari di lati, il centro coincide con il punto d’incontro di tutte le diagonali che congiungono vertici opposti. Nel caso di poligono con un numero dispari di lati, coincide con il punto d’incontro di tutti i segmenti che TEOREMA. Se si divide la circonferenza in un numero n ≥ 3 di archi congruenti e si congiungono gli estremi di archi consecutivi, si ottiene un poligono regolare . Dimostrazione Dividiamo la circonferenza in 5 archi congruenti (vedi figura); otteniamo il pentagono ABCDE. I lati del pentagono sono tutti congruenti, in quanto corde sottese da archi congruenti, ed anche gli angoli sono tutti congruenti, in quanto inscritti in archi congruenti (si ottengono infatti sommando due archi congruenti) Dunque il pentagono è regolare poiché ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti. 129
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